(1)这n个圆把平面划分成多少个平面区域？
(2)这n个圆共有多少个交点？
分析与解 (1)在图2-100中，设以P点为公共点的圆有1，2，3，4，5个(取这n个特定的圆)，观察平面被它们所分割成的平面区域有多少个？为此，我们列出表18．1．
由表18．1易知
S2-S1=2， S3-S2＝3， S4-S3＝4， S5-S4＝5， ??
由此，不难推测
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Sn-Sn-1＝n．
把上面(n-1)个等式左、右两边分别相加，就得到
Sn-S1＝2＋3＋4＋?＋n，
因为S1=2，所以
面对Sn-Sn-1=n，即Sn=Sn-1＋n的正确性略作说明．
下
因为Sn-1为n-1个圆把平面划分的区域数，当再加上一个圆，即当n个圆过定点P时，这个加上去的圆必与前n-1个圆相交，所以这个圆就被前n-1个圆分成n部分，加在Sn-1上，所以有Sn=Sn-1＋n．
(2)与(1)一样，同样用观察、归纳、发现的方法来解决．为此，可列出表18．2．
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由表18．2容易发现
n个式子相加a1＝1， a2-a1＝1， a3-a2＝2， a4-a3＝3， a5-a4＝4， ??
an-1-an-2＝n-2， an-an-1＝n-1．
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注意 请读者说明an=an-1＋(n-1)的正确性．
例3 设a，b，c表示三角形三边的长，它们都是自然数，其中a≤b≤c，如果 b=n(n是自然数)，试问这样的三角形有多少个？
分析与解 我们先来研究一些特殊情况：
(1)设b=n=1，这时b=1，因为a≤b≤c，所以a=1，c可取1，2，3，?．若c=1，则得到一个三边都为1的等边三角形；若c≥2，由于a＋b=2，那么a＋b不大于第三边c，这时不可能由a，b，c构成三角形，可见，当b=n=1时，满足条件的三角形只有一个．
(2)设b=n=2，类似地可以列举各种情况如表18．3．
这时满足条件的三角形总数为：1+2=3．
(3)设b=n=3，类似地可得表18．4．
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这时满足条件的三角形总数为：1＋2＋3=6．
通过上面这些特例不难发现，当b=n时，满足条件的三角形总数为：
这个猜想是正确的．因为当b=n时，a可取n个值(1，2，3，?，n)，对应于a的每个值，不妨设a=k(1≤k≤n)．由于b≤c＜a＋b，即n≤c＜n＋k，所以c可能取的值恰好有k个(n，n＋1，n＋2，?，n＋k-1)．所以，当b=n时，满足条件的三角形总数为：
例4 设1×2×3×?×n缩写为n！(称作n的阶乘)，试化简：
1！×1＋2！×2＋3！×3＋?＋n！×n. 分析与解 先观察特殊情况：
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