dBx，dBy
dBx?dBsin???0I2π2Rsin?d?
R y P I R dI d? dBx dBy （a）
图11–20
（b）
dB x dBy??dBcos????0I2π2Rcos?d?
所以
Bx?dBx?sin?d??
202π2RπR??π?0I?0IP ? By?dBy??cos?d??0
02π2R??π?0I所以该半圆柱在轴线上任一P点的磁感强度B的大小为
?IB?Bx?0
π2R方向沿x轴正方向。
11–24 一个半径为R的塑料圆盘，表面均匀带电+Q，如果圆盘绕通过圆心并垂直于盘面的轴线以角速度?匀速转动，求：（1）圆心O处的磁感应强度；（2）圆盘的磁矩。
解：（1）圆盘转动时，其上电荷绕轴转动形成电流，在空间激发磁场。圆盘电荷面密度为
?
2??QπR
O
r R
dr
如图11-21所示，在转动圆盘面内取半径为r，宽度为dr的细圆环，环上电流为
dI?dq?2πrdr????rdr T2π?图11–21
细圆环在圆心处产生的磁感应强度大小
?dI???rdr?0??dr dB?0?0?2r2r2由于所有细圆环在圆心处的磁感应强度dB的方向都向相同，因此，
B?dB?方向垂直于盘面向外。
（2）细圆环的磁矩为
??0R?0??dr2???R?0Q? ?0?22πRdpm?SdI?πr2??rdr?π??r3dr
因此，整个圆盘的磁矩为
π??R4?QR2pm?dpm?π??rdr??
044R??311–25 如图11-22所示，长为0.1m的均匀带电细杆，带电量为1.0?10–10C，以速率1.0m/s沿x轴正方向运动。当细杆运动到与y轴重合的位置进，细杆的下端到坐标原点O的距离为l=0.1m，试求此时杆在原点O处产生的磁感应强度B。
解：均匀带电细杆可看成由许多电荷元dq组成。当均匀带电细杆运动时，相当于许多
132
电荷元运动，每一运动电荷元在空间产生磁场dB，则空间场点的总磁感应强度B是所有电荷元产生磁感应强度的矢量叠加。
建立如图所示坐标系，在均匀带电细杆上取电荷元dq?图11-23所示。利用运动电荷的磁场公式B?O产生的磁感应强度的大小为
dB?qdy，如aa y q v ?0qv?er4πr2可求得dq在点
?0dqvsin90?4πy2??0qvdy4πay2l
O
图11–22
x
方向垂直于纸面向里
因此带电细杆在点O产生的磁感应强度的大小为
y a ?dqvsin90??0qvdydB?0?
224π4πyayB=dB?q dq y v ??l?a?0qvdy?0qv?11????? l4πay24πa?ll?a?l O
4π?10?7?1.0?10?10?1.0?11?????
4π?0.1?0.10.1?0.1?x
?5?10?16T
2?0I(r2?R1)222π(R2?R1)r图11–23
11–26 空心长圆柱形导体的内、外半径分别为R1，R2均匀流过电流I。求证导体内部各点（R1 R2 R1 O B 解：导体横截面上的电流密度为 J?I22π(R2?R1)r 由于电流和磁场分布具有轴对称性，B线是以轴线为圆心的同心圆，因此以半径r作同心圆，如图11-24所示，在圆上任一点B的量值都相等，方向与圆相切。以此圆为环路，由安培环路定理得 图11–24 ??所以 2B?dl?B2πr??0j(πr?πR1)??022(πr?πR1)?22π(R2?R1)I22?0I(r2?R1)22(R2?R1) B?2?0I(r2?R1)222πr(R2?R1) 11–27 一根很长的半径为R的铜导线载有电流10A，在导线内部通过中心线作一平面S（长为1m，宽为2R），如图11-25所示。试计算通过S平面内的磁通量。 133 I I r dr S 1m S dS 1m 2R 2R 图11–26 图11–25 解：由安培环路定理，可求出圆柱体内、外区域与导体中心轴线相距为r处的磁感强度的大小 当r?R时， IπR2??B1?dl?B12πr??0πr2 B1??0Ir2πR2(r?R) 当r?R时， ??B2?dl?B22πr??0I ?IB2?0(r?R) 2πr在平面S上，距轴r处，取宽为dr，长为l=1m的面积元dS=ldr=1?dr=dr，如图11-26 所示，则穿过面积元的磁通量为 d??B?dS?BdS?Bldr?Bdr 通过整个面积S的磁通量为 ????Sd???SB?dS??BindS??BexdS ?0Irdr??0R2πR2??I?Idr?0?0ln2 R2πr4π2πO 2R?0I=1.0?10–6+1.4?10–6=2.4?10–6Wb 11–28 如图11-27所示，线圈均匀密绕在截面为矩形的整个木环上（木环的内外半径分别为R1，R2，厚度为h），共有N匝，求：（1）通入电流I后，环内外磁场的分布。（2）通过管截面的磁通量。 解：（1）根据右手螺旋法则，环管内磁感强度的方向与环管中心轴线构成同心圆，取半径为r的圆为积分环路，在环路上各点B的大小相等，方向沿环路切向。根据安培环路定理 当r?R1时，有 I I O′ R1 R2 ??B1?dl?B12πr?0 B1?0 h 当R1?r?R2时，有 134 图11–27 ??B2?dl?B22?r??0NI ?NIB2?0 2πr当r?R2时，有 O ??B3?dl?B32πr?0 B3?0 ?NI可见，在环外B=0，在环内，B?0。 2πr（2）在任意半径r处取宽为dr，高为h的条形面积元，如图11-28所示，穿过此面积元的磁能量为 I I O′ R1 R2 dr r h 2πr则通过环管全部截面的总磁通量为 d??B?dS?BdS?Bhdr??0NIhdr ??d????R1R2?0NI?NIhR2hdr?0ln 2πr2πR1图11–28 11–29 一无限长直载流导线，通过有电流50A，在离导线0.05m处有一电子以速率1.0?107m/s运动。已知电子电荷的数值为1.6?10–19C，求下列情况下作用在电子上的洛伦兹力： （1）设电子的速度v平行于导线，如图11-29（a）； （2）设v垂直于导线并指向导线如图11-29（b）； （3）设v垂直于导线和电子所构成的平面。 v I I v （a） 图11–29 （b） 解：（1）电子所受的洛伦兹力F??e(v?B)的大小为 F?evBsin90? =evB=ev?0I2πr?1.6?10?194π?10?7?50?1.0?10?N=3.2?10–16N 2π?0.057若v与电流同向时，F的方向垂直导线并背离导线，如图11-30（a）；若v与电流反向时，F的方向垂直导线并指向导线。 （2）F?evBsin90?=3.2?10–16N F的方向平行于导线，与电流同向，如图11-30（b）。 135 （3）因为v与B夹角为0或?，所以 F?evBsin0?0或F?evBsinπ?0 v I F （a） I 图11–30 F v （b） 11–30 带电粒子在过饱和液体中运动，会留下一串气泡显示出粒子运动的径迹。设在气泡室有一质子垂直于磁场飞过，留下一个半径为3.5cm的圆弧径迹，测得磁感强度为0.20T，求此质子的动量和动能。 解：由带电粒子回转半径与粒子运动速率的关系 R?可得 mvP ?eBeBP?ReB?3.5?10?2?1.6?10?19?0.20=1.12?10–21kg?m/s p2(1.12?10?21)2J=3.76?10–16 J =2.35KeV Ek??2m2?1.67?10?2711–31 一质子以1.0?107m/s的速度射入磁感应强度B=1.5T的均匀磁场中，其速度方向与磁场方向成30?角。计算：（1）质子作螺旋运动的半径；（2）螺距；（3）旋转频率。 解：质子速度在垂直于B的方向的分量为 v??vsin? 质子速度在平行于B的方向的分量为 v//?vcos? （1）质子作螺旋运动的半径为 mv?mvsin?1.67?10?27?1.0?107?sin30?R???m=3.48?10–2 m eBeB1.6?10?19?1.5（2）螺旋线的螺距为 2πmv//2πmvcos?2?3.14?1.67?10?27?1.0?107?cos30?d???m=0.38m ?19eBeB1.6?10?1.5（3）旋转频率为 v?vsin?1.0?107?sin30?f???m=2.28?107 m 2πR2πR2?3.14?3.48?10?211–32 如图11-31所示，一铜片厚为d=1.0mm，放在B=1.5T的磁场中，磁场方向与铜片表面垂直。已知铜片中自由电子密度为8.4?1022个 136 cm3，每个电子的电荷为?e=
