A．H只是穿过闭合环路的电流所激发，与环路外的电流无关 B．
?I是环路内、外电流的代数和
?LH?dl??I在恒定磁场的任何介质中都是成立的，无论
?LH?dl??I用
C．安培环路定律只在具有高度对称的磁场中才成立
D．只有磁场分布具有高度对称性时, 才能用它直接计算磁场强度的大小 解：介质中的安培环路定理
磁场是否具有高度的对称性，只是在磁场有高度对称性时，我们可以选择适当的回路，使得待求场点的磁场强度与回路积分无关，其它的线积分为零或与待求场点相同，被积函数H可从积分号内提出到积分号外，从而可计算出待求场点的磁场强度。因此
于求解磁场强度具有高度对称性时的磁场强度，其它情况不能用它来求磁场，但并不表示它不成立。要注意的是，磁场强度和磁场强度环量是两个不同的物理量，式中
?I是环路内
电流的代数。定理表示磁场强度的环量等于穿过环路的电流的代数和，即磁场强度的环量只与穿过环路的电流有关，与环外电流无关，并不是磁场强度只与穿过环路的电流有关，空间任一点的磁场是环内和环外电流共同激发的。因此（A）、（B）和（C）都是错误的。答案应选（D）。
11–13 一质量为m，带电量为q的粒子在均匀磁场中运动，下列说法正确的是：[ ] A．速度相同，电量分别为+q，?q的两个粒子，它们所受磁场力的方向相反，大小相等
B．只要速率相同，所受的洛伦兹力就一定相同
C．该带电粒子，受洛伦兹力的作用，其动能和动量都不变
D．洛伦兹力总是垂直于速度方向，因此带电粒子运动的轨迹必定为一圆形
解：（1）正确。因为带正电粒子所受洛伦兹力F=qv×B，带负电粒子所受洛伦兹力F′= ?qv×B，所以F= F′。
（2）错误。带电粒子所受洛伦兹力的大小F=qvBsin?，它不仅与速度的大小有关，还与速度方向有关；
（3）错误。带电粒子受洛伦兹力的作用，速度的大小不改变，但速度方向要改变，所以其动能不变，但动量要改变。
（4）错误。在均匀磁场中，带电粒子的运动轨迹取决于粒子初速度v0和B的夹角?，当?=0或?=?时，带电粒子不受洛伦兹力，其轨迹是直线，当??动，其运动轨迹是圆形，当v0和B的夹角?任意时，带电粒子的运动轨迹是螺旋线。
综上所述，正确答案应选（A）。
11–14 通有电流I的正方形线圈MNOP，边长为a（如图11-12），放置在均匀磁场中，已知磁感应强度B沿z轴方向，则线圈所受的磁力矩T为[ ]。
A．I aB ，沿y负方向 B．I aB/2，沿z方向 C．I a2 B，沿y方向 D．I a2 B/2，沿y方向 解：线圈所受的磁力矩为T?NISen?B，其大小为
z 图11–12
2
2
π
时，带电粒子作圆周运2
y N M B O 30° P x 127
T?NISBsin30??12。 IaB，方向沿y方向。故选（D）
211–15 半径为R的圆柱形无限长载流直导体置于均匀无限大磁介质中，若导体中流过的恒定电流为I，磁介质的相对磁导率为?r（?r<1），则磁介质内的磁化强度为[ ]。
I?IIIA．r B．(?r?1) C．?(?r?1) D．
2πr(??1)2πr2πr2πrr解：在圆柱形无限长载流直导体外，取半径为r（r>R）的同心圆周回路，利用磁介质的安培环路定理先求出磁介质中的磁场强度
??lH?dl?H2πr?I
H?则磁介质内的磁化强度为
I,(r?R) 2πrI 2πrM?(?r?1)H?(?r?1)因此，正确答案为（B）。
11–16 北京正负电子对撞机的储存环是周长为240m的近似圆形轨道。当环中电子流强度为8mA时，在整个环中有多少电子在运行？已知电子的速率接近光速。
解：一个电子绕存储环近似以光速运动时，对电流的贡献为?I?的贡献为I?e，N个电子对电流l/cNe，由此可得 l/cIl8?10?3?240N???4?1010（个）
ec1.6?10?19?3?10811–17 设想在银这样的金属中，导电电子数等于原子数。当1mm直径的银线中通过30A的电流时，电子的漂移速率是多大？若银线温度是20oC，按经典电子气模型，其中自由电子的平均速率是多大？银的摩尔质量取M=0.1kg/mol，密度?=104kg/m3。
解：银线单位体积的原子数为
n?NA? M4?30?0.1π?(1?10)?6?10?3223电流强度为30A时，银线内电子的漂移速率 vd?I?SneIDN?π()2Ae2M?4IMπDNA?e2??10?1.6?104?19
=4×10–3m/s
按经典电子气模型，自由电子的平均速率是
kT1.38?10?23?293v?1.60?1.60??1.1?105m/s
m9.1?10?3111–18 已知导线中的电流按I=t2–5t+6的规律随时间t变化，计算在t=1到t=3的时间内通过导线截面的电荷量。
解：由于电流I随时间t发生变化，在dt时间内通过导线截面的电荷量dq=Idt，在t1=1到t2=3内通过的电荷量为
128
q??t1t2Idt??32(t?5t?6)dt?18.7C 111–19 已知两同心薄金属球壳，内外球壳半径分别为a，b（a 解：设内球带电+Q，外球带电?Q，由于电场分布具有球对称性，可作半径为r（a E?Q4π?rb2 （1） O a r b +Q 又 V??E?dr??abQa4π?r2dr?Q4π??11???? （2） ?ab?-Q 图11–13 所以 Q?4π?V （3） 11??????ab?abV(b?a)r2将（3）式代入（1）式得 E? （4） 由 a2b2V2 I???J?dS?J4πr??E4πr?kE4πr?4πkS(b?a)2r22222沿径向电流强度减小，沿径向有漏电。 11–20 四条平行的载流无限长直导线，垂直地通过一连长为a的正方形顶点，每根导线中的电流都是I，方向如图11-14所示，求正方形中心的磁感应强度B。 1 I a a I a I a B2 B1 a B3 B4 a 2 I I a 图11–14 I I 3 a 图11–15 I 4 解：正方形中心的磁感应强度B就是各导线所产生的磁感应强度的矢量叠加，又由右手螺旋定则知，中心处磁场强度为B=B1+B2+B3+B4=2B1+2B2，方向如图11-15所示。其中B1，B2的大小为 B1?B2??0I22πa2 则磁感应强度B在水平方向分量为 129 Bx=2B1sin45??2B2sin45??0 竖直方向为 By=2B1cos45??2B2cos45??4B1cos45? 2a2因此，正方形中心的磁感应强度B的大小 2π?4?0Icos45??2?0I πaB=B?2?0I B yπa方向竖直向上。 11–21 如图11-16所示，已知地球北极地磁场磁感应强度B地球北极 的大小为6.0?10–5 T，如设想此地磁场是由地球赤道上一圆电流所激发的，此电流有多大？流向如何？ 解：地球赤道圆电流在北极激发的磁感强度为 B??0IR2IR2?0IR 2(R2?x2)3/2??02I (R2?R2)3/2?42R 因此赤道上的等效圆电流为 B I?42RB42?6.378?106?6.0?10?5??01.26?10?6A=1.72?109 A 图11–16 由右手螺旋法则可判断赤道圆电流流向由东向西。 11–22 两根导线沿半径方向被引到铁环上A，D两点，并与很远处的电源相接，电流方向如图11-17所示，铁环半径为R，求环中心O处的磁感应强度。 解：根据叠加原理，点O的磁感应强度可视作由FA,DE,EFF 三段直线以及?ABD?l1，?ACD?l2两段圆弧电流共同激发。由于AR 电源距环较远，BEF?0。而FA，DE两段直线的延长线通过点O? ??O，则Idl?r=0，由毕奥–萨伐尔定律知，导线FA，DE在O点D 的磁感应强度为零，即BFA?BDE?0。流过圆弧的电流I1，I2E 的方向如图11-18所示，它们在O点激发的磁感应强度即为所求。 图11–17 方法一：根据毕奥–萨伐尔定律，圆弧?ABD?l1，?ACD?l2在 O点激发的磁场分别为B1，B2，有 F B?l1?1?0I1dl?0I1l104πR2?4πR2 RA 方向垂直纸面向外。 I1 O? I2 C ? B2??l2?0I2dl?0I2l4πD0 R2?24πR2 方向垂直纸面向里。 E 由于圆弧ABD?，?ACD构成并联电路，因而有I1R1?I2R2，图11–18 又由于圆弧ABD?，?ACD的电阻与其长度成正比，则 130 I1R2?l2Sl2??? I2R1?l1Sl1即 I1l1?I2l2 由右手螺旋法则可判断出B1，B2方向相反，故点O的总磁感应强度为 ?Il?IlB=B1?B2?011?022?0 4πR24πR2?I?方法二：一载流圆弧在圆心处产生的磁感强度B?0，式中?为圆弧载流导线所张的 4πRABD，?ACD，对圆心的张角分别为?和2???，则有 圆心角，设两段圆弧??IBABD=02? 4πR?IBACD=01(2π??) 4πR由右手螺旋法则可判断出BABD，BACD方向相反，故点O的总磁感应强度为 ?I(2π??)?0I2? （1） B=BABD?BACD?01?4πR4πR与方法一相同的步骤得出 I1l1?I2l2 则 I1l2R????? I2l1R(2π??)2π??将上式代入（1）式得点O的总磁感应强度 B=BABD?BACD??0I2?(2π??)?I?2π???02?0 4πR4πR11–23 一无限长半径为R的半圆柱金属薄片中，自下而上均匀地有电流I通过，如图11-19所示。试求半圆柱轴线上任一点P的磁感应强度B。 解：载流无限长半圆柱金属薄片可视为许多沿轴线方向无限长载流直导线组成（如图11-20（a））。其俯视图如图11-20（b）所示，金属薄片在P点产生的磁感应强度就是这些无限长载流直导线在P点产生的磁感应强度的矢量叠加。过轴线上所求场点P做一截面垂直于轴，此截面为半圆，如图11-20（b）所示，截面上长为dl?Rd?范围内的长直载流导线电流dI为 P R I dI?IIdl?Rd? πRπR它在P点产生的磁感应强度为 ?dI?I?Id?dB?0?0Rd??0 2πR2πRπR2π2R方向由右手螺旋关系确定，如图11-20（b）所示。 图11–19 由于各无限长载流直导线在P点产生的dB方向各不相同，于是将dB分解成两个分量 131
