东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测
高三数学 （理科）
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）设集合A?{1,2}，则满足A?B?{1,2,3}的集合B的个数是
（A）1 (B) 3 (C)4 (D)8 （2）已知a是实数，
a?i是纯虚数，则a等于 1?i（A）?1 （B）1 （C）2 （D）?2 （3）已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a3?6，S3?12，则公差d等于
5 （C）2 （D）3 3（4）执行如图所示的程序框图，输出的k的值为
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
（A）1 （B）
（5）若a，b是两个非零向量，则“a?b?a?b”是“a?b”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
?x?0,?y?0,（6）已知x，y满足不等式组?当3?s?5时，目标函数z?3x?2y的最大值的变化范围是 ??x?y?s,??y?2x?4.
（A）[6,15]
（B）[7,15] （C）[6,8]
（D）[7,8]
x2y2??1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为（7）已知抛物线y?2px的焦点F与双曲线792K，点A在抛物线上且|AK|?2|AF|，则△AFK的面积为
（A）4 （B）8 （C）16 （D）32
（8）给出下列命题：①在区间(0,??)上，函数y?x,y?x,y?(x?1)2,y?x3中有三个是增函数；②
若logm3?logn3?0，则0?n?m?1；③若函数f(x)是奇函数，则f(x?1)的图象关于点A(1,0)对
?112?3x?2,x?2,1称；④已知函数f(x)??则方程 f(x)?有2个实数根，其中正确命题的个数为
2?log3(x?1),x?2,（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）若sin???35，且tan??0，则cos?? ． （10）图中阴影部分的面积等于 ．
（11）已知圆C：x2?y2?6x?8?0，则圆心C的坐标为 ；y 3 y=3x2 O 1 x
若直线y?kx与圆C相切，且切点在第四象限，则k? ． （12）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ． （13）某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次
第二次提价q%；方案乙：每次都提价
提价p%,
p?q%，若2p?q?0，则提价多的方案是 . （14）定义映射f:A?B，其中A?{(m,n)m,n?R}，B?R，已知对所有的有序正整数对(m,n)满
足下述条件:
①f(m,1)?1；②若n?m，f(m,n)?0；③f(m?1,n)?n[f(m,n)?f(m,n?1)]， 则f(2,2)? ，f(n,2)? ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题共13分）
已知函数f(x)?3sinxcosx?cos2x?a． （Ⅰ）求f(x)的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）若f(x)在区间[?
（16）（本小题共13分）
已知{an}为等比数列，其前n项和为Sn，且Sn?2n?a(n?N). （Ⅰ）求a的值及数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn?(2n?1)an，求数列{bn}的前n项和Tn.
（17）（本小题共14分）
如图，在菱形ABCD中， MA⊥平面ABCD，且在矩形ADNM?DAB?60?，E是AB的中点，
*??3,]上的最大值与最小值的和为，求a的值． 63237． 7（Ⅰ）求证：AC⊥BN；
（Ⅱ）求证：AN // 平面MEC；
中，AD?2，AM?
（Ⅲ）求二面角M?EC?D的大小.
（18）（本小题共13分）
已知a?R，函数f(x)?A
E
B
N
M
D C
a?lnx?1． x（Ⅰ）当a?1时，求曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程； （Ⅱ）求f(x)在区间?0,e?上的最小值．
（19）（本小题共13分）
在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点(?3，0)，(3，0)的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线l过点E(?1,0)且与曲线C交于A，B两点．
（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；
（Ⅱ）是否存在△AOB面积的最大值，若存在，求出△AOB的面积；若不存在，说明理由.
（20）（本小题共14分）
已知实数组成的数组(x1,x2,x3,?,xn)满足条件： ①
?xi?1ni?0； ②?xi?1.
i?1n(Ⅰ) 当n?2时，求x1，x2的值；
（Ⅱ）当n?3时，求证：3x1?2x2?x3?1； （Ⅲ）设a1?a2?a3???an,且a1?an(n?2)， 求证：
1ax?(a1?an). ?ii2i?1n东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测
高三数学参考答案及评分标准 （理科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）C （2）B （3）C （4）A （5）C （6）D （7）D （8）C 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9）?24 （10）1 （11）(3,0) ?
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