§6-4 磁场的能量
一 自感磁能
图6 - 16 自感磁能
当开关K倒向1时，自感为L的线圈中的电流i将由零增大到恒定值I，灯泡会逐渐亮起来。这一电流变化在线圈中产生的自感电动势的方向与电流方向相反，起着阻碍电流增大的作用，自感电动势?L??Ldi/dt作负功。在建立电流I的整个过程中，外电源不仅要供给电路中产生焦耳热所需要的能量，而且还要抵抗自感电动势作功AL，即
AL??dAL????di(??L ) i dt?Lidt00dt???ILidi01?LI2. 2AL转化成为储存在线圈中的自感磁能，用WL或Wm表示。
当开关K倒向2切断电源时，线圈中的电流i将由恒定值I减小到零。电流的减小在线圈中所产生的自感电动势?L??Ldi/dt作正功，阻碍电流的减小。在电流由I减小到零的过程中，自感电动势所作的总功为
01di2??Lidi?LI AL???Lidt??(?L. )idt?I2dt切断电源后，线圈中所储存的自感磁能，通过自感电动势作功全部释放出来，转变
成了焦耳热，灯泡逐渐熄灭。
自感为L的线圈，通有电流I时储存的自感磁能为
1LI2. WL?2 (6.23)
二 互感磁能
若有两个相邻的线圈1和2，它们的自感分别为L1和L2，互感为M，在其中分别有电流I1和I2. 在建立电流的过程中，电源除了供给线圈中产生焦耳热的能量和抵抗自感电动势作功外，还要抵抗互感电动势作功AM，即
? AM?A1?A2???0?12i1dt
???0?21i2dt
1
di1?d?M21i2)dt?M?0(i1i2)dt
dtdtI1I2?M?0d(i1i2)?MI1I2.
电源抵抗两个线圈中的互感电动势所作的功，以磁能的形式储存起来，称为互感磁能，用WM或Wm来表示，即
WMdi2???0(M12i1dt?MI1I2.
(6.24)
一旦电流中止，磁能就通过互感电动势作功全部释放出来。
总之，两个相邻的载流线圈所储存的总磁能为
Wm?WL1?WL2?WM 1212?L1I1?L2I2?MI1I2. 22 (6.25)
自感磁能不可能是负的，但互感磁能却可以是负的。例如，当线圈1中的电流I1
所产生的通过线圈2的磁通与线圈2中的电流I2在自身中所产生的磁通同号时，I1与I2同号，互感磁能为正；否则，互感磁能为负。
若把上式写成对称形式，即
112121L1I1?L2I2?M12I1I2?M21I2I1, Wm?2222则可以将式(6.25)推广到k个线圈的普遍情形，即
1k21 Wm??LiIi?2i?12i,j?1(i?j)?MijIiIj.
k (6.26)
三 磁场的能量
按照近距作用观点，磁能是定域在磁场中的，可以从自感储存磁能的公式
WL?LI2/2导出磁场能量密度公式。
理想化的例子：设细螺绕环的平均半径为R，总匝数为N，其中充满相对磁导率为?r的各向同性线性磁介质。根据安培环路定理，当螺绕环通有电流I时，可得
H?nI,
B??r?0nI.
于是，按定义式(6.17)，可得螺绕环的自感为
NBSN?r?0nIS L?????r?0n2V,
III式中V?S2?R,n?N/2?R. 按式(6.23)，该螺绕环所储存的自感磁能为
2
?
即
121122LI??r?0nIV?(?r?0nI)(nI)V, Wm?2221Wm?BHV.
2Wm1?BH. wm?V2上式表明，磁能Wm的大小与磁场所占体积V成正比，即磁能分布在磁场中。因此，
我们可以定义磁能密度为
可以证明，在普遍情况下，磁场中的磁能密度可以表达为
1B?H. wm?2
(6.27)
总磁能Wm等于wm对磁场所占有的全部空间的积分，即
1Wm????wmdV?2112LI?22???B?HdV,
(6.28)
把磁场的能量及其密度与描述磁场的B和H联系了起来。 对于一个载流线圈，利用磁能公式(6.23)和式(6.28)可得
???B?HdV.
(6.29)
这不仅为自感L提供了另一种计算方法，而且对于有限横截面积的导体来说，它还为自感提供了基本的定义。
如前所述，自感L的另外两种定义是：
??LI,
d?dI ? ????Ldtdt
(6.17) (6.18)
.
对于有两个载流线圈同时存在的情况，不仅要考虑自感磁能，而且还要考虑互感磁
能。
设两个线圈上的电流分别为I1和I2，它们各自产生的磁场强度分别为H1和H2，磁感应强度分别为B1和B2，则总的磁场强度、磁感应强度和磁能分别为：
H=H1?H2, B=B1?B2.
11B?HdV????(B1?B2)?(H1?H2)dV Wm????22
3
122?????r?0(H1?H2?2H1?H2)dV. 2 (6.30)
式中前两项分别为两个线圈的自感磁能，第三项为互感磁能。自感磁能密度总是正的，互感磁能密度在H1?H2成锐角的地方是正的，成钝角的地方是负的。
由式(6.30)还可以看出，系统的总磁能只与最后所达到的状态有关，而与磁场建立的过程无关。
[例题6.9] 同轴电缆由半径分别为R1和R2的两个无限长同轴长导体柱面组成，它们所通过的电流大小相等、方向相反。试求无限长同轴电缆中长度为l的一段的磁场能量及其自感。
图6 - 17 同轴电缆
时，有
[解] ( 1 ) 解法一：根据安培环路定理，磁场只存在于两导体面之间，即当R1?r?R2IH?,
2?rB??r?0H?
?r?0I2?r,
1?r?0I2 wm?. BH?2228?r在长度为l的一段同轴线内的总磁能为
Wm?
?R2w2?lrdrR1m??r?0I2l4?4
?R2R1dr?r?0I2lR2. ?lnr4?R1
再根据式(6.29)，可以得到这段同轴电缆的自感为
Ll?2WmI2( 2 ) 解法二：先利用两柱面间的磁感应强度分布求出面元ldr的磁通量d?，然
后求出长度为l的一段同轴线内的总磁通量
?R2?ln.
2?R1R2?r?0l??d????0?rIldr??0?rIlR2ln，
R12?r最后利用自感的定义式(6.17)可得上述结果。 2?5
R1
