实验二（3） 快速傅立叶变换FFT及其应用
一、实验目的
１. 利用MATLAB的快速傅立叶变换来计算信号的离散傅立叶变换。 ２. 利用MATLAB程序，理解进一步离散傅立叶变换的物理意义。 3. 利用MATLAB程序，理解快速卷积算法。
二、实验原理
在MATLAB中，使用函数fft可以很容易地计算有限长序列x(n)的离散傅立叶变换X[k]。此函数有两种形式，fft(x)计算序列x(n) 的离散傅立叶变换X(k)，这里X(k)的长度与x(n)的长度相等。fft(x，L)计算序列x(n) 的L点离散傅立叶变换，其中L≥N。若L>N，在计算离散傅立叶变换之前，对x(n)尾部的L-N个值进行补零。同样，离散傅立叶变换序列X(k)的离散傅立叶逆变换x(n)用函数ifft计算，它也有两种形式。 （一）、基本序列的离散傅立叶变换计算
N点离散傅立叶变换的一种物理解释就是，X[k]是x(n)以N为周期的周期延拓序列的离散傅立叶级数系数X(k)的主值区间序列，即X(k)?X(k)RN(k)。例如序列
~~cos(n)RN(n),当N=16时，cos(n)RN(n)正好是cos(n)的一个周期，所以
888cos(n)RN(n)的周期延拓序列就是这种单一频率的正弦序列。而当N=8时，8cos(n)RN(n)正好是cos(n)的半个周期，cos(n)RN(n)的周期延拓就不再是单一频
888率的正弦序列，而是含有丰富的谐波成分，其离散傅立叶级数的系数与N=16时的差别很大，因此对信号进行谱分析时，一定要截取整个周期，否则得到错误的频谱。
???????
（二）、验证N点DFT的物理意义
假如x(n)非周期、有限长，则傅立叶变换存在，那么对X(ej?)在N个等间隔频率
?k=2πk/N, k=0,1,…,,N-1取样,则可得X(k)。 X(k)?X(?)??2?k/N?n????x(n)e??j2?kn/N 0?k?N?1
序列x(n)的N点DFT的物理意义是对X(ω)在[0，2π]上进行N点的等间隔采样。
（三）、利用FFT计算序列的线性卷积 直接计算线性卷积计算量大，并且计算机无法判断y(n)的长度，需要计算多少的y(n)值，若输入为无限长，就更无法计算，其运算量随长度成级数增长。由于可以利用FFT对DFT进行有效的计算，我们希望能够利用DFT来计算线性卷积。 设 x(n) 和 h(n) 是长度分别为M和N的有限长序列， 令 L=M+N-1，定义两个长度L的有限长序列：
x'(n)??
?x(n),0?n?M?1 (3.4.8)
M?n?L?1?0,?h(n),0?n?N?1 h'(n)?? (3.4.9)
0,N?n?L?1?通过对x(n) 和 h(n)补充零样本值得到上面两个序列。那么：
yl(n)?x(n)?h(n)?yc(n)?x'(n) h'(n) (3.4.10) 上面的过程如下图所示：
计算线性卷积也可以直接调用函数con来计算，因为MATLAB中的计时比较粗糙，所以只有M和N较大的时候，才能比较两种方法的执行时间快慢。
三、实验内容与步骤（选做一个）
１. 对复正弦序列x(n)?ejn8?RN(n)，利用MATLAB程序求当N=16和N=8时的离散傅
立叶变换，并显示其图形。
1?e?j4?２.已知x(n)?R4(n),X(?)?, 绘制相应的幅频和相频曲线，并计算N=8和
1?e?j?N=16时的DFT。
四、实验仪器设备
计算机，MATLAB软件
五、实验注意事项
课前预先阅读并理解实验程序；
六、实验结果
k1=16; %序列长 N1=16;?t点数 n1=[0:1:15];
xn1=exp(j*pi/8*n1/k1); %抽样信号 xk1=dft(xn1,N1);
subplot(2,2,1); stem(n1,xn1); xlabel('t/T'); ylabel('x(n)'); subplot(2,2,2); stem(n1,xk1); grid;
xlabel('k'); ylabel('x(k)');
k2=8; %序列长 N2=8;?t点数 n2=[0:1:7];
xn2=exp(j*pi/8*n2/k2); %抽样信号 xk2=dft(xn2,N2); subplot(2,2,3); stem(n2,xn2); xlabel('t/T'); ylabel('x(n)'); subplot(2,2,4); stem(n2,xk2); grid;
xlabel('k'); ylabel('x(k)');
实验三 基于MATLAB的IIR数字滤波器设计
一、实验目的
１. 进一步熟悉IIR数字滤波器的理论知识。
２. 熟悉与IIR数字滤波器设计有关的MATLAB函数。
3 . 学会通过MATLAB，利用脉冲响应不变法和双线性变换法设计IIR数字滤波器，加深对数字滤波器的常用指标和设计过程的理解。
二、实验原理
（一）、低通滤波器的常用指标：
1??P?G(ej?)?1??P,for???P
G(ej?)??S,for?S????
通带边缘频率：?p，阻带边缘频率：?s ，
通带起伏：?p，通带峰值起伏： ?p??20log10(1??p)[dB]，阻带起伏：?s 最小阻带衰减：?S??20log10(?s)[dB]。
（二）、IIR数字滤波器设计
目前，设计IIR数字滤波器的通用方法是先设计相应的低通滤波器，然后再通过双线性变换法和频率变换得到所需要的数字滤波器。模拟滤波器从功能上分有低通、高通、带通及带阻四种，从类型上分有巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器、椭圆滤波器以及贝塞尔滤波器等。 1、利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤。
(1)确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率ωp、通带衰减αp、阻带截止频率ωs、阻带衰减αs。
(2)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。
脉冲响应不变法： ???T
21双线性变换法：
??tan(?)T2
(3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。
(4)将模拟滤波器Ha(s)，从s平面转换到z平面，得到数字低通滤波器系统函数H(z)。
2、下面给出与IIR数字滤波器设计有关的MATLAB文件。
（1）buttord.m
用来确定数字低通或模拟低通滤波器的阶次，其调用格式分别是 a. [N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs) b. [N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,’s’)
格式a对应数字滤波器，式中Wp,Ws分别是通带和阻带的截止频率，实际上它们是归一化频率，其值在0-1之间，1对应π（即对π的归一化）。Rp,Rs分别是通带和阻带衰减，单位为dB。N是求出的相应低通滤波器的阶次，Wn是求出的3dB频率。
格式b对应模拟滤波器，式中各个变量的含义和格式a相同，但Wp,Ws及Wn是模拟角频率，单位为rad/s。
（2）buttap.m
用来设计模拟低通原型（归一化）滤波器Ha(p)，其调用的格式为 [z , p, k]=buttap(N)
N是欲设计的低通原型（归一化）滤波器的阶次，z, p和k分别是设计出Ha(p)的极点、零点及增益。
（3）lp2lp.m
将模拟低通原型（归一化）滤波器Ha(p)转换为实际的低通滤波器Ha(s)。（去归一化），其调用格式为：
[B，A]=lp2lp(b,a,Wn)
b,a分别是模拟低通原型滤波器Ha(p)的分子、分母多项式的系数向量，其中B，A是去归一化后Ha(s) 的分子、分母多项式的系数向量, Wn为截止频率。
（4）bilinear.m
实现双线性变换，即由模拟滤波器Ha(s)得到数字滤波器H(z)。其调用格式是： [Bz,Az]=bilinear(B,A,Fs)
B，A是去归一化后Ha(s) 的分子、分母多项式的系数向量，Bz，Az是H (z) 的分子、分母多项式的系数向量, Fs是抽样频率。 （4）impinvar.m
由脉冲响应不变法将模拟滤波器Ha(s)转换为数字滤波器H(z)。其调用格式是： [Bz,Az]= impinvar(B,A,Fs)
B，A是去归一化后Ha(s) 的分子、分母多项式的系数向量，Bz，Az是H (z) 的分子、分母多项式的系数向量, Fs是抽样频率。
(5) butter.m
用来直接设计巴特沃斯数字滤波器（双线性变换法），实际上它把buttord.m，buttap.m，lp2lp.m及bilinear.m等文件都包含进去，从而使设计过程更简捷，其调用格式为： a. [B，A]=butter(N, Wn)
b. [B，A]=butter(N，Wn，‘s’)
格式a是设计低通数字滤波器，格式b是设计低通模拟滤波器。B，A是H (z) 的分子、分母多项式的系数向量，Wn是截止频率。
三、实验内容与步骤 以下选做一个
１. 设计MATLAB程序，采用脉冲响应不变法设计一个巴特沃斯低通数字滤波器，其通带
上限临界频率为400Hz，阻带临界频率为600Hz，抽样频率是1000Hz，在通带内的最大衰减为0.3dB, 阻带内的最小衰减为60dB，并绘出幅频特性曲线。
２. 设计MATLAB程序，采用双线性变换法设计一个巴特沃斯低通数字滤波器，要求在通
带[0，0.2π]内衰减不大于3dB, 在阻带[0.6π,π]内衰减不小于40dB，并绘出幅频特性曲线。
四、实验仪器设备
计算机，MATLAB软件
五、实验要求
根据要求独立编程设计，并根据程序运行结果写出滤波器的系统函数
六、实验结果
