第二章 第4炼 求函数的值域 函数及其性质
附：分式函数值域的求法：
分式函数也是高中所学函数的一个重要分支，求解分式函数的值域也考查了学生分式变形的能力以及能否将分式化归为可求值域的形式，学会求分式函数值域也是处理解析几何中范围问题的重要工具。求分式函数值域的方法很多，甚至也可以考虑对函数进行求导，但相对计算量较大，本节主要介绍的方式为如何通过对分式函数进行变形，并用换元的方式将其转化为熟悉的函数进行求解。
一、所用到的三个函数（其性质已在前文介绍）
1 xa2、对勾函数：y?x??a?0?
xa3、函数：y?x??a?0? 注意与对勾函数进行对比
x1、反比例函数：y?二、分式函数值域的求法 请看下面这个例子：
1,x??1,2?的值域 x11思路：此函数可看为的结果再加上3所得，故可利用反比例函数求出的范围，再得到
xx求y?3?值域
解：?x??1,2? ?1?1?1?7???,1? ?y?3???,4?
x?2?x?2?13x?13x?1?，所以当遇到的函数为y?，总可以xxx1将分子的每一项均除以分母，从而转化为y?3?进行求解。由此得到第一个结论：
xax?bb对于形如f?x??的函数，总可以变换成f?x??a?转化为反比例函数进行求解。
xx问题不难，但观察可发现：y?3?注：如果在分式中，分子的表达式可将一部分构造为分母的形式，则可用这部分除以分母与
第二章 第4炼 求函数的值域 函数及其性质
分式分离得到常数，从而使得分式中的分子变得简单，这种方法称为“分离常数法”，是分式变形常用的一种手段 例：f?x??2x?3,x??1,3? x?1ax?b的形式，从而求解 x思路：本题分母为表达式，比较复杂，但如果视分母为一个整体（进行换元），则可将分式转化成为f?x??解：令t?x?1,t??2,4? ?x?t?1
?f?t??2t?55?13??2?，进而可求出值域：y???,? tt?24?注：换元法是求函数值域时，通过将含有变量的一部分式子视为一个整体，用一个变量表示，进而将陌生的函数化归成熟悉的模型求解，这也是求函数值域时变换解析式的重要方法。 由上例，我们可以总结出第二个结论：
ax?b（分子分母均为一次的分式）的函数，通过换元t?cx?d ，可
cx?dpt?q转化为f?t??的形式，进而用反比例函数进行求解。
t对于形如f?x??再看下一个例子： 例：f?x??x?1?1?,x??,3? x?2?解：函数为对勾函数?a?1?，作图观察可发现极值点x?1在定义域中，故最小值为
?1?f?1??2，而最大值在f??,f?3?中产生，
?2?思考1：那么f?x??x?10?1?5?10?f???,f?3?? 故值域为?2,?
3?2?2?3?1?1?,x??,3?你是否会求呢？记住，图像是你最好的帮手！ x?2?1x2?1思考2：f?x??x??，那么是否可以仿照上面，得到第三个结论？
xxcax2?bx?c形如y?的函数可通过分离常数转化为y?ax??b的形式，进而可依靠
xxy?x?a的图像求出值域 x继续，还能扩展么？举个例子？
第二章 第4炼 求函数的值域 函数及其性质
x2?3x?4,x??3,5? 例：f?x??x?1解：设t?x?1，t??2,4?
?f?t??t?1??2?3?t?1??4t2?5t?88??t??5 （极值点：8?22）
ttt?ymin?ft?22?42?5 f?t?2??11,f?t?4??11 ?y???42?5,11
第四个结论：
???ax2?bx?c形如y?的函数可通过换元t?dx?e将问题转化为第三个结论，然后进行求
dx?e解
那么，例：f?x??x?1,x??3,5?呢
x2?3x?4不就是取了倒数么，所以只需分子分母同除以分子（x?1）即可化归为上面的情形
x2?2x?1,x??3,5?呢 那么，例：f?x??2x?x?1分子分母最高次均为2次，可考虑进行下分离常数：
x2?2x?1x2?x?1?xxf?x??2??1?，从而转化为上面例子的问题，至此，22x?x?1x?x?1x?x?1ax2?bx?c分式函数的终极形式y?2总可通过一系列变换，转化为前面所介绍的三个函数
dx?ex?f模型进行求解。
小结：总结一下我们所遇到的分式类型及处理方法吧： ① y?ax?b：换元→分离常数→反比例函数模型
cx?daax2?bx?c② y?：换元→分离常数→y?x?模型
xdx?e③ y?1dx?ey?：同时除以分子：→②的模型
ax2?bx?cax2?bx?cdx?e
第二章 第4炼 求函数的值域 函数及其性质
ax2?bx?c④ y?2：分离常数→③的模型
dx?ex?f共同点：让分式的分子变为常数
