第二章 第4炼 求函数的值域 函数及其性质
所以想到
?1?x???2x?3?2???1?x?2sin??1?x?0，由?可知?4，从而可设????x?3?2cos??x?3?0??????0,?，所以原函数的值域转化为求y?2sin??2cos??1的值域，从而有
?2???????1,22?1?。由此题可知：含双根式y?22sin?????1，由???0,?可求得y????4???2?的函数若通过变形可得到被开方数的和为常数，则可通过三角换元转为三角函数值域问题 （2）思路：函数的定义域为x?1，从而发现1?x?1?x，所以函数的解析式为
f?x??x?1?x，观察可得f?x?为增函数，且x???时，f?x????，所以当x????,1?时，f?x?的值域为???,1?
小炼有话说：①本题中函数的定义域对解析式的化简有极大的促进作用。所以在求函数的值域时，若发现函数解析式较为特殊，则先确定其定义域
② 本题也可用换元法，设t?1?x后即可将函数转为二次函数求值域，但不如观察单调性求解简便。
（3）思路：先确定函数的定义域：??3?2x?0?3??x??1,?，f?x?为分式且含有根式，
?2??2x?2?03?2x?5?0且关于x单减，
求导则导函数较为复杂。观察分子分母可知：
2x?2?1?0且关于x单增，即?3???13?2x?5单减，所以f?x??为减函数，
2x?2?12x?2?1由x??1,?可知f?x?的值域为?,6?
22小炼有话说：在函数单调性的判断中有“增+增→增”，那么如果一个函数可表示为两个函数的乘法，例如h?x??f?x??g?x?，则当f?x?,g?x?均为增（减）函数，且f?x?,g?x?恒大于0，才能得到h?x?为增（减）函数 答案：（1）D （2）B （3）?,6?
24、方程思想：本方法是从等式的角度观察函数，将其视为一个含参数y的关于x的方程
?5????5???第二章 第4炼 求函数的值域 函数及其性质
F?x,y??0。由函数的对应关系可知，对于值域中的任一值y，必能在定义域中找到与之
对应的x。这个特点反应在方程中，即为若y0在值域中，则关于x的方程F?x,y??0在
y?y0时至少有一个根。从而将求值域问题转化为“y取何值时，方程F?x,y??0有解”
的问题。利用方程的特点即可列出关于y的条件，进而解出y的范围即值域
2x2?4x?7例8：（1）函数y?2的值域为（ ）
x?2x?3A. ??,2? B. ??,0? C. ??,0? D. ??,2?
?2??3??3??2?（2）函数y??9??7??7??9?sinx?1的值域为_________
cosx?2思路：（1）观察分式特点可发现若将去掉分母后可构造为一个关于x的二次方程（其中y为参数）： ?y?2?x??2y?4?x?3y?7?0，因为函数的定义域为R，所以y的取值要
2求只是让方程有解即可，首先对最高次数系数是否为0进行分类讨论：当y?2，方程为
13?0，无解；当y?2时，二次方程有解的条件为??0，即得到关于y的不等式，求解
即可
2x2?4x?7解：由y?2可得:
x?2x?3x2y?2xy?3y?2x2?4x?7
??y?2?x2??2y?4?x?3y?7?0
?x2?2x?3??x?1??2?0 ?函数的定义域为R ?y的取值只需让方程有解即可
当y?2时，13?0不成立，故舍去
当y?2时，???2y?4??4?y?2??3y?7??0 即：?2y?9??y?2??0
22??9?y?2 2
第二章 第4炼 求函数的值域 函数及其性质
综上所述：函数的值域为??,2?
小炼有话说：① 对于二次分式，若函数的定义域为R，则可像例8这样通过方程思想，将值域问题转化为“y取何值时方程有解”，然后利用二次方程根的判定??0得到关于y的不等式从而求解，这种方法也称为“判别式法”
② 若函数的定义域不是R，而是一个限定区间（例如?a,b?），那么如果也想按方程的思想处理，那么要解决的问题转化为：“y取何值时，方程在?a,b?有根”，对于二次方程就变为了根分布问题，但因为只要方程有根就行，会按根的个数进行比较复杂的分类讨论，所以此类问题通常利用分式的变形与换元进行解决（详见附）
?9?2??sinx?ycosx?2y?1（2）本题不易将函数变为仅含sinx或cosx的形式，考虑去分母得：
则y的取值只要让方程有解即可。观察左侧式子特点可想到俯角公式，从而得到
1?y2sin?x?????2y?1??sin?x????2y?11?y22y?11?y2，可知方程有解的条件为：
?1，解出y的范围即为值域
sinx?1的定义域为R
cosx?2sinx?1?ycosx?2y?sinx?1 且y?cosx?2解：y??sinx?ycosx?2y?1
?1?y2sin?x?????2y?1?，即sin?x????因为该方程有解
2y?11?y2，其中tan???y
?2y?11?y2?1??2y?1??1?y2
2?4??3y2?4y?0?y???,0?
?3?小炼有话说：本题除了用方程思想，也可用数形结合进行解决，把分式视为
?cosx,sinx?,??2,1?连线斜率的问题，从而将问题转化为定点??2,1?与单位圆上点连线斜
第二章 第4炼 求函数的值域 函数及其性质
率的取值范围。作图求解即可。本类型运用方程思想处理的局限性在于辅角公式与y的取值相关，不过因为x?R，所以均能保证只要sin?x???在??1,1?中，则必有解。但如果本题对x的范围有所限制，则用方程的思想不易列出y的不等式，所以还是用数形结合比较方便 答案：（1）D （2）??,0?
3 以上为求值域的四种常见方法，与求函数的理念息息相关，有些函数也许有多种解法，或是在求值域的过程中需要多种手段综合在一起解决。希望你再遇到函数值域问题时，能迅速抓住解析式的特点，找到突破口，灵活运用各种方法处理问题。
2例9：已知函数y?lgx?2x?m的值域为R，则m的取值范围是（ ）
?4?????A. m?1 B. m?1 C. m?1 D. m?R 思路：本题可视为y?lgt,t?x2?2x?m的复合函数，函数的值域为R，结合对数函数的性质可知t应取遍所有的正数（定义域可不为R），即若函数t?x?2x?m的值域为A，则?0,????A，由二次函数的图像可知，当??0时，可满足以上要求。所以??4?4m?0解得m?1 答案：C
例10：在计算机的算法语言中有一种函数?x?叫做取整函数（也称高斯函数），?x?表示不
22x1?超过x的最大整数，例如：?2??2,?3.1??3,??2.6???3，设函数f?x??，则1?2x2函数y???f?x??????f??x???的值域为（ ）
A. ?0? B. ??1,0? C. ?-1,0,1? D. ??2,0? 思路：按?x?的定义可知，若要求出?x?，则要将确定里面x的范围，所以若求
y??x??f?x??????f????的值域，则要知道f?x?,f??x?的范围。观察到y???f?x??????f??x???为偶函数，所以只需找到x?0的值域即可，
2?x11?2x2x12x?1f??x??????，f?x??，即f?x???f??x?1?2?x22?1?2x?1?2x22?1?2x?成立，所以f?x?为奇函数，只需确定f?x?的范围即可。对f?x?中的分式进行分离常数
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可得：f?x??111?1??x，当x?0时，2x?1??2,???，从而x??0,?，所以22?12?1?2??1??1?f?x???0,?f??x??1，可得f?x???0,?，由f??x???f?x????,0?。即????????2??2?y??1，再利用偶函数性质可得x?0时，y??1。当x?0时，f?x??f??x??0，所
以y?0，综上所述：y???f?x??????f??x???的值域为??1,0? 答案：B
小炼有话说：（1）本题在处理值域时，函数奇偶性的运用大量简化了运算。首先判断出所求函数为偶函数，所以关于y轴对称的两部分值域相同，进而只需考虑x?0的情况。另外从解析式的特点判断出f?x?为奇函数，从而只需计算f?x?的范围，再利用奇函数的性质推出f??x?的范围。所以在求函数值域时，若能通过观察或简单的变形判断出函数具备奇偶的性质，则解题过程能够达到事半功倍的效果。
?2?x1f?x??????x?1?22很难直接看出
（2）本题在判断f?x?的奇偶性时，由?f?x?,f??x?x?f?x??2?1??1?2x2?2x?1?f?x??x21?2???之间的联系，但通过“通分”即可得到?，奇偶性立即可见；在求f?x?x?f??x??1?2x?21?2???2x?1的范围时，利用f?x??的形式，分式较为复杂，分子分母均含变量，不易确定x2?1?2?其范围。但通过“分离常数”得到f?x??11?x则非常便于求其范围。由以上的对比22?1可知，在判断奇偶性或者分式的符号时，通常一个大分式较为方便；在求得分式函数值域时，往往通过“分离常数”的手段简化分式中的分子，从而便于求得范围
