三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方(2)

2025-07-27

分析 本题考查三角形中位线的构造方法及应用、平行线的性质.由中点想到中位线,又要把结论联系起来,既要使中位线的另一端点处一理想的位置,又使需证明的角转移过来,可考虑,连BD,找BD中点G,则EG、FG分别为△BCD、△DBA的中位线,于是得到了解题方法.考虑到结论辅助线不要乱作,取中点比作平行线好.

证明:连BD并取BD的中点G,连FG、GE 在△DAB和△BCD中

∵F是AD的中点,E是BC的中点

11∴FG∥AB且FG=2AB,EG∥DC且EG=2DC

∴∠BKE=∠GFE,∠CHE=∠GEF ∵AB=CD ∴FG=EG

∴∠GFE=∠GEF ∴∠BKE=∠CHE

题3 如图, ABCD为等腰梯形,AB∥CD,O为AC、BD的交点,P、R、Q分别为AO、DO、BC的中点,∠AOB=60°。求证:△PQR为等边三角形.

分析 本题考查三角形中位线定理、等边三角形判定方法、直角三角形斜边

1中线定理。利用条件可知PR=2AD,能否把PQ、RQ与AD(BC)联系起来成为解题

的关键,由于∠AOB=60°,OD=OC,则△ODC为等边三角形,再由R为OD中点,则∠BRC=90°,QR就为斜边BC的中线.

证明:连RC,∵四边形ABCD为等腰梯形且AB∥DC ∴AD=BC ∠ADC=∠BCD

又∵DC为公共边 ∴△ADC≌△BCD ∴∠ACD=∠BDC ∴△ODC为等腰三角形 ∵∠DOC=∠AOB=60° ∴△ODC为等边三角形 ∵R为OD的中点

∴∠ORC=90°=∠DRC(等腰三角形底边上的中线也是底边上的高)

11∵Q为BC的中点 ∴RQ=2BC=2AD 11同理PQ=2BC=2AD

在△OAD中 ∵P、R分别为AO、OD的中点

1∴PR=2AD ∴PR=PQ=RQ

故△PRQ为等边三角形

3、教学难点:本课难点是三角形中位线定理的证明,证明方法的关键在于如何添加辅助线.

教师可以在证明思路上进行引导、启发,避免生硬地将辅助线直接作出来让学生接受。例如,教师可以启发学生:要证明一条线段的长等于另一条线段的长的一半,可将较短的线段延长一倍,或者截取较长的线段的一半。

上面的这种辅助线的作法可以概括为“短延长、长截短”,这种辅助线的作法还可以用于证明线段和、差、倍、分等方面。 证明线段的和、差、倍、分常用的证明策略:

1, 长截短:要证明一条线段等于另外两条线段的和与差,可在长线上截取一部分等于另两条线段中的一条,然后再证明另一部分等于剩下的一条线段的长。(角也亦然)

2, 短延长:要证明一条线段等于另外两条线段的和与差,可先延长较短的一条线段,得到两条线段的和,然后再证明其与长的线段相等。(角也这样) 3, 加倍法:要证明一条线段等于另一条线段的2倍或1/2,可加倍延长线段,延长后使之为其2倍,再证明与另一条线段相等。(角也这样) 4, 折半法:要证明一条线段等于另一条线段的2倍或1/2,也可取长线段的中点,再证明其中之一与另一条线段相等。(角也可用)

5, 代数运算推理法:这种方法是利用代数运算证明线段或角的和、差、倍、分。

6, 相似三角形及比例线段法:利用相似三角形的性质进行推理论证。

题1(短延长):如图所示,在正方形ABCD中,P、Q分别为BC、CD上的点。 (1)若?PAQ=45°,求证:PB+DQ=PQ。

(2)若△PCQ的周长等于正方形周长的一半,求证:?PAQ=45°

A D Q B P C

证明:(1)延长CB至E,使BE=DQ,连接AE。 ∵四边形ABCD是正方形

∴?ABE=?ABC=?D=90°,AB=AD 在△ABE和△ADQ中

∵AB=AD,?ABE=?D,BE=DQ

??ABE??ADQ?AE?AQ,?BAE??QAD??PAQ?45°??BAP??QAD?45°??BAP??BAE?45°, 即?EAP??PAQ?45°在?AEP和?AQP中?AE?AQ,?EAP??PAQ,AP?AP??AEP??AQP?EP?PQ?EP?EB?BP?DQ?BP?PQ

即PB?DQ?PQ

A D Q E B P C

(2)延长CB至E,使BE=DQ,连接AE 由(1)可知?ABE??ADQ

?AE?AQ,?BAE??QAD??DAQ??BAQ??BAE??BAQ?90°??PCQ的周长等于正方形周长的一半?PC?QC?QP?BC?CD?PQ?(BC?PC)?(CD?QC)?BP?DQ?BP?EB?EP在?AEP和?AQP中?AE?AQ,EP?PQ,AP?AP??AEP??AQP ??EAP??PAQ?45°

题2(长截短):如图,在△ABC中,∠B=2∠C,∠A的平分线AD交BC于D。求证:AC=AB+BD

21

A34OBDC

证明:在AC上截取OA=AB,连接OD, ∵∠3=∠4,AD=AD

∴ △ABD≌△AOD,∴ BD=DO ∴∠B=∠1=∠2+∠C= 2∠C ∴ ∠2=∠C ∴ OD=OC=BD

∴ AC=OA+OC=AB+BD


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