三角形中位线定理的证明及其教学说明
以下内容作者为：青岛第四中学杨瀚书老师
一、 三角形中位线定理的几种证明方法 法1： 如图所示，延长中位线DE至F，使
，有AD
FC，所以FC
，连结CF，则
BD，则四边形BCFD是平行四边
1BC． 2形，DF BC。因为 ，所以DE
法2有FC
C作
AD，那么FC
交DE的延长线于F，则
，BC。
BD，则四边形BCFD为平行四边形，DF
1BC． 2因为 ，所以DE
法3：如图所示，延长DE至F，使 ADCF为平行四边形，有AD
，连接CF、DC、AF，则四边形
BD，那么四边形BCFD为平
1BC． 2CF，所以FC
行四边形，DF BC。因为 ，所以DE
法4：如图所示，过点E作MN∥AB，过点A作AM∥BC，则四边形ABNM为平行四边形，易证?AEM??CEN，从而点E是MN的中点，易证四边形ADEM和BDEN都为平行四边形，所以DE=AM=NC=BN，DE∥BC，即DE
1BC。 2
法5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线．
二、教学说明
1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维”
在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题，挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。
⑴如图，A为线段BC(或线段BC的延长线)上的任意一点，D、E分别是AB、AC的中点，线段DE与BC有什么关系？
ABDEC
图⑴：
⑵如果点A不在直线BC上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗?
ADEBC图⑵：
说明：学生观察（几何画板制作的）课件演示：当△ABC的顶点A运动到直线BC上时,中位线DE也运动到BC上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不难猜想性质的两方面，特别是数量关系，而想到去度量、验证和猜想，水到渠成.如果教师直接叫学生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜. 2、教学重点：本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。
第一，要知道中位线定理的作用：可以证明两条直线平行及线段的倍分关系，计算边长或中位线的长。
第二，要知道中位线定理的使用形式，如：
∵ DE是△ABC的中位线
∴ DE∥BC，DE?
第三，让学生通过部分题目进行训练，进而掌握和运用三角形中位线定理。 题1 如图4.11-7，Rt△ABC，∠BAC＝90°，D、E分别为AB，BC的中点，点F在CA延长线上，∠FDA＝∠B.
(1)求证：AF＝DE；(2)若AC＝6，BC＝10，求四边形AEDF的周长.
1BC 2ADEBC
分析 本题是考查知识点较多的综合题，它不但考查应用三角形中位线定理的能力，而且还考查应用直角三角形和平行四边形有关性质的能力。
(1)要证AF＝DE，因为它们刚好是四边形的一组对边，这就启发我们设法证明AEDF是平行四边形.因为DE是三角形的中位线，所以DE∥AC.又题给条件∠FDA＝∠B，而在Rt△ABC中，因AE是斜边上的中线，故AE＝EB.从而∠EAB＝∠B.于是∠EAB＝∠FDA.故得到AE∥DF.所以四边形AEDF为平行四边形.
11 (2)要求四边形AEDF的周长，关键在于求AE和DE，AE＝2BC＝5，DE＝2AC
＝3.
证明：(1)∵D、E分别为AB、BC的中点， ∴DE∥AC，即DE∥AF
∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BE＝EC
1∴EA＝EB＝2BC，∠EAB＝∠B
又∵∠FDA＝∠B， ∴∠EAB＝∠FDA
∴EA∥DF，AEDF为平行四边形 ∴AF＝DE
(2)∵AC＝6，BC＝10，
11∴DE＝2AC＝3，AE＝2BC＝5
∴四边形AEDF的周长＝2(AE+DE)＝2(3+5)＝16
题2 如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，延长BA和CD分别与EF的延长线交于K、H。求证：∠BKE＝∠CHE.
