23. 解：（1）
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……………………2分
（注：直接等分不给分，在等距平行线上有正确痕迹的给分,作出一个给1分.） (2)① ②
……………………4分 ……………………7分 2(平谷22). 数学课上，老师要求小明同学作△A ’B ’C ’∽△ABC ，且''1
.2
B C BC =小明的作法是： （1） 作1
''2
B C BC =
； （2） 过点'B 作'B D ∥AB ，过点'C 作'C E ∥AC ，它们相交于点'A ； '''A B C ?就是满足条件的三角形（如图1）.
解答下列问题：
①若△ABC 的周长为10，根据小明的作法，'''A B C ?的周长为－－－－－－－－－－；
②已知四边形ABCD ，请你在图2的右侧作一个四边形''''A B C D ，使四边形''''A B C D ∽四边形ABCD ，且满足
''1
2
A B AB =(不写画法，保留作图痕迹). 解．（1）5………………….2分 （2）画图．…………..5分
3(怀柔22). 操作与实践：
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(1)在图①中，以线段m 为一边画菱形，要求菱形的顶点均在格点
上.（画出所有符合条件的菱形）（4分）
(2)在图②中，平移a 、b 、c 中的两条线段，使它们与线段n 构成以
n 为一边的等腰直角三角形.（画一个即可）（1分）
解:
注：(1)小题画对6个4分，5个3分，4个2分，
2个1分
4(燕山22)．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△AOB
的顶点都在格点上，点A 、B 的坐标分别为（－4，4）、
（－6，2）．请按要求完成下列各题：
⑴ 把△AOB 向上平移4个单位后得到对应的△A 1OB 1，则点A 1、
B 1的坐标分别是 ；
⑵ 将△AOB 绕点O 顺时针旋转90°，画出旋转后的△A 2OB 2，
在旋转过程中线段AO 所扫过的面积为 ；
⑶ 点P 1，P 2，P 3，P 4，P 5是△AOB 边上的5个格点，画一个三
角形，使它的三个顶点为P 1，P 2，P 3，P 4，P 5中的3个格点并且
与△AOB 相似．（要求：在图中联结相应线段，不用说明理由）
解:22．⑴ A 1(－4，8)、B 1(－6，6) ．
⑵ 如图： 线段AO 所扫过的面积为2)24(4
1??π=8π． ⑶ 如图． 5(西城21）．平面直角坐标系xOy 中，原点O 是正三角形ABC 外接圆的圆心，点A 在y 轴的正半轴上，
△ABC 的边长为6．以原点O 为旋转中心将△ABC 沿逆时针方向旋转α角，得到△A B C '''，点A '、B '、C '分别为点A 、B 、C 的对应点．
（1）当α=60°时，
①请在图1中画出△A B C '''；
②若AB 分别与C A ''、B A ''交于点D 、E ，则DE 的长为_______；
22题图① 22题图②
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（2）如图2，当C A ''⊥AB 时，B A ''分别与AB 、BC 交于点F 、G ，则点A '的坐标为_______，
△FBG 的周长为_______，△ABC 与△A B C '''重叠部分的面积为_______．
21．解：（1）①如图7所示. ……………………………………1分
②DE 的长为 2 ； ………………………………2分 （2）点A '
的坐标为(，△FBG 的周长为 6 ，
△ABC 与△A B C '''
重叠部分的面积为27-．
…………………………………5分
6(石景山)20．已知：△ABC 中，102=AB ，4=AC ，26=BC
（1）如图1，点M 为AC
的中点，在线段BC 上取点N ，使△CMN 与△ABC 相似，求线段MN 的长； （2）如图2,，是由81个边长为1的小正方形组成的9×9正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三
角形为格点三角形，试直接写出在所给的网格中与△ABC 相似且面积最大的格点三角形的个数，并在图2中画出其中的一个（不需证明）．
图1 图2
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1
11N 20.解：
(1)如图：
①当N 为BC 中点，AB MN //
此时△CMN ∽△CAB ,
有21==AB MN CA CM ∵102=AB
∴10=MN ； ………2分
②当△1CMN ∽△CBA 时，有B CMN ∠=∠1
∴AB
MN BC CM 1=， 又 26=BC
∴3
52=MN .………4分 ∴MN 的长为10或3
52 （2）8个，如图（答案不唯一）. ………5分
7(大兴) 22. 操作：如图①，点O 为线段MN 的中点，直线PQ 与MN 相交于点O ，请利用图①画出一对以点O 为对称中心的全等三角形。
图①
根据上述操作得到的经验完成下列探究活动：
探究一：如图②，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，
∠BAE ＝∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F . 试探究线段AB 与AF 、
CF 之间的等量关系，并证明你的结论；
探究二：如图③，DE 、BC 相交于点E ，BA 交DE 于点A ，且
BE ：EC ＝1：2，∠BAE ＝∠EDF ，CF ∥AB 。若AB ＝5，CF ＝1
，求
DF 的长度。
P N M Q O
西城区教育研修学院·初三数学研修活动 2013.3.7 22. 解：
（1）画图：……………1分
（2
）结论：AB=AF+CF . …………2分 证明：分别延长AE 、DF 交于点M ，
∵E 为BC 的中点，
∴BE =CE .
∵AB ∥CD ，
∴∠BAE
=∠M .
在△ABE 与△MCE 中，
∠
BAE =∠
M
∠AEB =∠MEC
BE =CE ，
∴△ABE ≌△MCE .
∴AB =MC .
又∵∠BAE =∠EAF ，
∴∠M =∠EAF .
∴MF =AF .
又∵MC =MF +CF ，
∴AB =AF +CF . …………………………3分
（3）分别延长DE 、CF 交于点G ，…………4分 ∵AB ∥CF ，
∴∠B =∠C ，∠BAE =∠G .
∴△ABE ∽△GCE .
∴A B
B E
G C E C = .
又∵1
2B E E C =，
∴1
2A B G C =.
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∵AB =5， ∴GC =10 . ∵FC =1， ∴GF =9 . ∵AB ∥CF ， ∴∠BAE =∠G . 又∵∠BAE =∠EDF ， ∴∠G =∠EDF . ∴GF =DF .
∴DF =9 . …………………5分
8(通州21).如图，AD 为⊙O 的直径，作⊙O 的内接等边三角形ABC .黄皓、李明两位同学的作法分别是： 黄皓：1. 作OD 的垂直平分线，交⊙O 于B ，C 两点，
2. 连结AB ，AC ，△ABC 即为所求的三角形.
李明：1. 以D 为圆心，OD 长为半径作圆弧，交⊙O 于B ，C 两点， 2. 连结AB ，BC ，CA ，△ABC 即为所求的三角形.
已知两位同学的作法均正确，请选择其中一种作法补全图形，并证明△ABC 是等边三角形.
21. 解：我选择黄皓的作法.
如图画图正确. ……………… 2分； 证明：连结OB 、OC .
∵AD 为⊙O 的直径，BC 是半径OD 的垂直平分线，
∴?
?AB AC =，??BD CD =， 11
22
OE OD OC ==， ……………… 3分；
∴AB AC =. ……………… 4分； 在Rt △OEC 中， ∴ cos 1
2
OE EOC OC ∠=
=， ∴60EOC ∠=o
， ……………… 5分； ∴120BOC ∠=o
. ∴60BAC ∠=o .
∴△ABC 是等边三角形. ……………… 6分.
第21题图
第21题图
第21题图
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我选择李明的作法.
如图画图正确. ……………… 2分；
证明：连结DB 、DC .
由作图可知：
DB =DO =DC ，
在⊙O 中，
∴OB =OD =OC ，
∴△OBD 和△OCD 都是等边三角形， ……… 3分；
∴60ODB ODC ∠=∠=o
， ……… 4分； ∵?
?AB AB =，??AC AC =， ∴60ODB ACB ∠=∠=o
， 60ABC ODC ∠=∠=o ， ……………… 5分；
∴△ABC 是等边三角形. ……………… 6分.
六.阅读理解问题
1.（西城 22）．阅读下面的材料：
小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x ≤m ，求二次函数267y x x =-+的最大值．他画图研究后发现，1x =和5x =时的函数值相等，于是他认为需要对m 进行分类讨论．
他的解答过程如下：
∵二次函数267y x x =-+的对称轴为直线3x =，
∴由对称性可知，1x =和5x =时的函数值相等．
∴若1≤m ＜5，则1x =时，y 的最大值为2；
若m ≥5，则m x =时，y 的最大值为267m m -+．
请你参考小明的思路，解答下列问题：
（1）当2-≤x ≤4时，二次函数1422++=x x y
（2）若p ≤x ≤2，求二次函数1422++=x x y 的最大值；
（3）若t ≤x ≤t +2时，二次函数1422++=x x y 的最大值为31，则的值为_______．
22．解：（1）当24x -≤≤时，二次函数1422++=x x y 的最大值为 49 ； …… 1分
（2）∵二次函数2241y x x =++的对称轴为直线1-=x ，
∴由对称性可知，当4-=x 和2=x 时函数值相等.
∴若4p ≤-，则当p x =时，y 的最大值为1422++p p . ................. 2分
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若42p -<≤，则当2=x 时，y 的最大值为17. .............................. 3分 （3）t 的值为 1或5- . ....................................................................................... 5分 阅卷说明：只写1或只写5-得1分；有错解得0分. 2（昌平22）. 阅读下面材料：
