因为所有的整数Z 除以5可得的余数为0,1,2,3,4，所以③正确；
若a ，b 属于同一“类”，则有a ＝5n 1＋k ，b ＝5n 2＋k ，
所以a －b ＝5(n 1－n 2)∈[0]，
反过来，如果a －b ∈[0]，
也可以得到a ，b 属于同一“类”，故④正确．
故有3个结论正确．
思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．
设U 为全集，对集合X ，Y ，定义运算“”，满足X Y ＝(?U X )∪Y ，则对
于任意集合X ，Y ，Z ，X (Y Z )等于
( )
A ．(X ∪Y )∪(?U Z )
B ．(X ∩Y )∪(?U Z )
C ．[(?U X )∪(?U Y )]∩Z
D ．(?U X )∪(?U Y )∪Z
答案 D
解析 因为X Y ＝(?U X )∪Y ，所以Y Z ＝(?U Y )∪Z ，
所以X (Y Z )＝(?U X )∪(Y Z )＝(?U X )∪(?U Y )∪Z ，故选D.
遗忘空集致误
典例：(5分)若集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ?P ，则由a 的可取值组成
的集合为__________．
易错分析 从集合的关系看，S ?P ，则S ＝?或S ≠?，易遗忘S ＝?的情况．
解析 P ＝{－3,2}．当a ＝0时，S ＝?，满足S ?P ；
当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解集为x ＝－1a ，
为满足S ?P 可使－1a ＝－3或－1a
＝2， 即a ＝13或a ＝－12.故所求集合为????
??0，13，－12. 答案 ????
??0，13，－12 温馨提醒 (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征．(2)在解答本题时，存在两个典型错误：一是忽
略对空集的讨论，如a ＝0时，S ＝?；二是忽略对字母的讨论，如－1a
可以为－3或2.因此，在解答此类问题时，一定要注意分类讨论，避免漏解
.
方法与技巧
1．集合中元素的两个特性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语
言之间的相互转化．
2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求
其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号．
3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn 图．这是数形结合思想的又
一体现．
失误与防范
1．集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进
行化简．
2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．
3．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．
4．Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示
法要特别注意端点是实心还是空心．
5．要注意A ?B 、A ∩B ＝A 、A ∪B ＝B 、?U A ??U B 、A ∩(?U B )＝?这五个关系式的等价性
.
A 组 专项基础训练
(时间：30分钟)
一、选择题
1． (2013·重庆)已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则?U (A ∪B )等于( )
A ．{1,3,4}
B ．{3,4}
C ．{3}
D ．{4}
答案 D 解析 因为A ∪B ＝{1,2,3}，全集U ＝{1,2,3,4}，所以?U (A ∪B )＝{4}，故选D.
2． 下列集合中表示同一集合的是
( ) A ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}
B ．M ＝{2,3}，N ＝{3,2}
C ．M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}
D ．M ＝{2,3}，N ＝{(2,3)}
答案 B
解析 选项A 中的集合M 表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N 表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M 与N 不是同一个集合．选项C 中的集合M 表示由直线x ＋y ＝1上的所有点组成的集合，集合N 表示由直线x ＋y ＝1上的所有点的纵坐标组成的集合，即N ＝{y |x ＋y ＝1}＝R ，故集合M 与N 不是同一个集合．选项D 中的集合M 有两个元素，而集合N 只含有一个元素，故集合M 与N 不是同一个集合．对选项B ，由集合元素的性质，可知M ，N 表示同一个集合．
3． 已知全集S ＝{1,2，a 2－2a ＋3}，A ＝{1，a }，?S A ＝{3}，则实数a 等于 ( )
A ．0或2
B ．0
C ．1或2
D ．2 答案 D
解析 由题意，知?????
a ＝2，a 2－2a ＋3＝3，则a ＝2. 4． 设集合M ＝{m ∈Z |m ≤－3或m ≥2}，N ＝{n ∈Z |－1≤n ≤3}，则(?Z M )∩N 等于( )
A ．{0,1}
B ．{－1,0,1}
C ．{0,1,2}
D ．{－1,0,1,2} 答案 B
解析 由已知，得?Z M ＝{－2，－1,0,1}，
N ＝{－1,0,1,2,3}，所以(?Z M )∩N ＝{－1,0,1}．
5． 已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有
( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个
答案 B
解析 ∵M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，∴M ∩N ＝{1,3}．
∴M ∩N 的子集共有22＝4个．
6． 已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |－1 ( ) A ．A B B ．B A C ．A ＝B D ．A ∩B ＝? 答案 B 解析 因为A ＝{x |x 2－x －2<0}， 所以A ＝{x |－1 又B ＝{x |－1 ( ) A ．(0,1) B ．(0,2] C ．(1,2) D ．(1,2] 答案 D 解析 A ＝{x |1＜x ＜4}，B ＝{x |x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |1＜x ≤2}． 8. 设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}，B ＝{x ∈Z |－ 1 A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 答案 C 解析 因为A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}＝{x ∈N |7x －x 2－6≥0}＝{x ∈N |1≤x ≤6}， 由题意，知题图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{1,2,3}， 所以其真子集有?，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个． 二、填空题 9． 已知集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且B ?A ，则a ＝__________. 答案 －1或2 解析 由a 2－a ＋1＝3，得a ＝－1或a ＝2，经检验符合．由a 2－a ＋1＝a ，得a ＝1，由于集合中不能有相同元素，所以舍去．故a ＝－1或2. 10．已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z }，则A ∩B ＝ __________. 答案 {(0,1)，(－1,2)} 解析 A 、B 都表示点集，A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可． 11．(2013·天津改编)已知集合A ＝{x ||x |≤2}，B ＝{x |x ≤1}，则A ∩B ＝________. 答案 {x |－2≤x ≤1} 解析 易知A ＝{x |－2≤x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}． 12．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a 答案 (－∞，－1] 解析 因为C ∩A ＝C ，所以C ?A . ①当C ＝?时，满足C ?A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32 ； ②当C ≠?时，要使C ?A ，则????? －a
a ＋3<5，解得－32
(时间：15分钟) 1． 设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，则满足S ?A 且S ∩B ≠?的集合S 的个数是 ( ) A ．57 B ．56 C ．49 D ．8 答案 B 解析 集合S 的个数为26－23＝64－8＝56. 2． 已知集合M ＝{x | x x －1≥0，x ∈R }，N ＝{y |y ＝3x 2＋1，x ∈R }，则M ∩N 等于 ( ) A ．? B ．{x |x ≥1} C ．{x |x >1} D ．{x |x ≥1或x <0} 答案 C 解析 由x x －1≥0，得????? x ≠1，x (x －1)≥0， ∴x >1或x ≤0，∴M ＝{x |x >1或x ≤0}，N ＝{y |y ≥1}， M ∩N ＝{x |x >1}． 3． 已知U ＝{x ∈Z |y ＝ln ????9x －1}，M ＝{x ∈Z ||x －4|≤1}，N ＝{x ∈N |6x ∈Z }，则集合{4,5}等于 ( ) A ．M ∩N B ．M ∩(?U N ) C ．N ∩(?U M ) D ．(?U M )∪(?U N ) 答案 B 解析 集合U 为函数y ＝ln ????9x －1的定义域内的整数集， 由9x －1>0，即9－x x >0，解得0 故U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}． 集合M 为满足不等式|x －4|≤1的整数集， 解|x －4|≤1，得3≤x ≤5， 又x ∈Z ， 所以x 可取3,4,5，故M ＝{3,4,5}． 集合N 是使6x 为整数的自然数集合， 显然当x ＝1时，6x ＝6； 当x ＝2时，6x ＝3； 当x ＝3时，6x ＝2； 当x ＝6时，6x ＝1. 所以N ＝{1,2,3,6}． 显然M ?U ，N ?U . 而4∈M,4∈U,4?N,5∈M,5∈U,5?N ， 所以4∈M,4∈?U N,5∈M,5∈?U N ， 即{4,5}＝M ∩(?U N )． 4． 已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝{y |y ＝1x ，x >2}，则?U P ＝________. 答案 ??? ?12，＋∞ 解析 ∵U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}＝{y |y >0}， P ＝{y |y ＝1x ，x >2}＝{y |0 }， ∴?U P ＝{y |y ≥12}＝????12 ，＋∞. 5． 已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ?B ，则实数c 的取值范围是 ________． 答案 [1，＋∞)
