§1.1 集 合
1． 元素与集合
(1)集合中元素的两个特性：确定性、互异性．
(2)元素与集合的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和?. (3)集合的表示方法有列举法、描述法和维恩(Venn)图法． (4)常见集合的符号表示
A B 或B A
??A ，?B (B ≠?)
并集的性质：
A ∪?＝A ；A ∪A ＝A ；A ∪
B ＝B ∪A ；A ∪B ＝A ?B ?A . 交集的性质：
A ∩?＝?；A ∩A ＝A ；A ∩
B ＝B ∩A ；A ∩B ＝A ?A ?B . 补集的性质：
A ∪(?U A )＝U ；A ∩(?U A )＝?；?U (?U A )＝A .
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)A ＝{x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}． ( × ) (2){1,2,3}＝{3,2,1}． ( √ ) (3)?＝{0}．
( × ) (4)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .
( × ) (5)已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{2,3}，则M ∩N ＝N .
( √ ) (6)若全集U ＝{－1,0,1,2}，P ＝{x ∈Z |x 2<4}，则?U P ＝{2}． ( √ ) 2． 已知集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{x |－1≤x <1}，则A ∩B 等于
( )
A ．{0}
B ．{－1,0}
C ．{0,1}
D ．{－1,0,1}
答案 B
解析 ∵－1,0∈B,1?B ，∴A ∩B ＝{－1,0}．
3． (2013·山东)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )
A ．1
B ．3
C ．5
D ．9
答案 C
解析 x －y ∈{}－2，－1，0，1，2.
4． (2013·课标全国Ⅱ)已知集合M ＝{x |(x －1)2<4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N 等于
( )
A ．{0,1,2}
B ．{－1,0,1,2}
C ．{－1,0,2,3}
D ．{0,1,2,3}
答案 A
解析 化简集合M 得M ＝{x |－1 5．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}．若A ∩B 中恰含有一个整 数，则实数a 的取值范围是________． 答案 ????34，43 解析 A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}， 因为函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1的对称轴为x ＝a >0，f (0)＝－1<0， 根据对称性可知要使A ∩B 中恰含有一个整数， 则这个整数为2， 所以有f (2)≤0且f (3)>0， 即????? 4－4a －1≤0，9－6a －1>0，所以??? a ≥34，a <43. 即34≤a <43 . 题型一 集合的基本概念 例1 (1)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的 个数为 ( ) A ．3 B ．6 C ．8 D ．10 (2)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝???? ??0，b a ，b ，则b －a ＝________. 思维启迪 解决集合问题首先要理解集合的含义，明确元素的特征，抓住集合的“两性”． 答案 (1)D (2)2 解析 (1)由x －y ∈A ，及A ＝{1,2,3,4,5}得x >y ， 当y ＝1时，x 可取2,3,4,5，有4个； 当y ＝2时，x 可取3,4,5，有3个； 当y ＝3时，x 可取4,5，有2个； 当y ＝4时，x 可取5，有1个． 故共有1＋2＋3＋4＝10(个)，选D. (2)因为{1，a ＋b ，a }＝???? ??0，b a ，b ，a ≠0， 所以a ＋b ＝0，得b a ＝－1， 所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2. 思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题． (1)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且 y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 (2)若集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}的子集只有两个，则实数a ＝________. 答案 (1)C (2)0或9 8 解析 (1)集合A 表示的是圆心在原点的单位圆，集合B 表示的是直线y ＝x ，据此画出图象，可得图象有两个交点，即A ∩B 的元素个数为2. (2)∵集合A 的子集只有两个，∴A 中只有一个元素． 当a ＝0时，x ＝2 3 符合要求． 当a ≠0时，Δ＝(－3)2－4a ×2＝0，∴a ＝9 8. 故a ＝0或9 8 . 题型二 集合间的基本关系 例2 (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0 B 的集合 C 的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 (2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1 思维启迪 对于含有有限个元素的集合的子集，可按含元素的个数依次写出；B ?A 不要忽略B ＝?的情形． 答案 (1)D (2)(－∞，4] 解析 (1)用列举法表示集合A ，B ，根据集合关系求出集合C 的个数． 由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}． 由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． (2)当B ＝?时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠?时，若B ?A ，如图． 则????? m ＋1≥－22m －1≤7m ＋1<2m －1 ，解得2 综上，m 的取值范围为m ≤4. 思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn 图来直观解决这类问题． (1)设M 为非空的数集，M ?{1,2,3}，且M 中至少含有一个奇数元素，则这 样的集合M 共有 ( ) A ．6个 B ．5个 C ．4个 D ．3个 (2)已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ?B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________. 答案 (1)A (2)4 解析 (1)集合{1,2,3}的所有子集共有23＝8(个)，集合{2}的所有子集共有2个，故满足要求的集合M 共有8－2＝6(个)． (2)由log 2x ≤2，得0 即A ＝{x |0 而B ＝(－∞，a )， 由于A ?B ，如图所示，则a >4，即c ＝4. 题型三 集合的基本运算 例3 (1)(2013·湖北)已知全集为R ，集合A ＝???? ??x |(12)x ≤1，B ＝{}x |x 2－6x ＋8≤0，则A ∩(?R B )等于 ( ) A ．{x |x ≤0} B ．{x |2≤x ≤4} C ．{x |0≤x <2或x >4} D ．{x |0 (2)(2012·天津)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________. 思维启迪 集合的运算问题可先对集合进行化简，然后结合数轴或Venn 图计算． 答案 (1)C (2)－1 1 解析 (1)A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4}， ∴A ∩(?R B )＝{x |x ≥0}∩{x |x >4或x <2} ＝{x |0≤x <2或x >4}． (2)先求出集合A ，再根据集合的交集的特点求解． A ＝{x |－5 B ＝{x |－1 B ＝{x |(x －m )(x －2)<0}，所以m ＝－1，n ＝1. 思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化． (1)设集合A ＝????? x ∈R |??????????x ＋1≥0，x －3≤0，B ＝{x ∈Z |x －2>0}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |2 B ．{3} C ．{2,3} D ．{x |－1≤x <2} (2)设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(?U A )∩B ＝?，则m 的值是________． 答案 (1)B (2)1或2 解析 (1)A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x ∈Z |x >2}， ∴A ∩B ＝{x ∈Z |2 (2)A ＝{－2，－1}，由(?U A )∩B ＝?，得B ?A ， ∵方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m ＋1)2－4m ＝(m －1)2≥0，∴B ≠?. ∴B ＝{－1}或B ＝{－2}或B ＝{－1，－2}． ①若B ＝{－1}，则m ＝1； ②若B ＝{－2}，则应有－(m ＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m ＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B ≠{－2}； ③若B ＝{－1，－2}，则应有－(m ＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m ＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m ＝2. 经检验知m ＝1和m ＝2符合条件． ∴m ＝1或2. 题型四 集合中的新定义问题 例4 在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k |n ∈Z }，k ＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论： ①2 014∈[4]；②－3∈[3]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a －b ∈[0]”． 其中，正确结论的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 思维启迪 解答本题要充分理解[k ]的意义，然后对选项逐一验证． 答案 C 解析 因为2 014＝402×5＋4， 又因为[4]＝{5n ＋4|n ∈Z }， 所以2 014∈[4]，故①正确； 因为－3＝5×(－1)＋2，所以－3∈[2]，故②不正确；
