(第5题)
江苏省连云港市2019-2020学年下学期期中考试
高二数学（文）试题
（分值160分， 时间120分钟）
一填空题：（70分）
1.复数 ▲ ．
2. 计算=-+|13|i i ___▲___．
3. 给出下列演绎推理：“整数是有理数， ，所以-3是有理数”，如果这个推理 是正确的，则其中横线部分应填写 ▲ ．
4. 观察下列等式：
1﹣=
1﹣+﹣=+
1﹣+﹣+﹣=++
…
据此规律，第n 个等式可为
+…+= ▲
5. 观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图
所示，则新生婴儿体重在(2700,3000]的频率为 ▲
6. 从编号为80,79,,3,2,1Λ的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为4的样 本，若编号为28的产品在此样本中，则这样的样本中产品的最大编号为 ▲
7. 已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差为 ▲ 2400 2700 3000 3300 3600 3900 体重 0
0 001 频率/组距
8.已知，y=tanx 的周期T=π，函数y=f （x ）满足，x ∈R ，（a 是大于零常数），则函数y=f （x ）的周期是 ▲ ． 9. 从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 ▲ ． 10. 用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于”时，结论的否定是 ▲ ．
11. 一只蚂蚁在一边长为6的正方形区域内随机地爬行,则其恰在离四个顶点距离都大于3的地方的概率 ▲ .
12. 从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是
▲ ．(填序号)
①“至少有一个黑球”与“都是黑球”；
②“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”；
③“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”；
④“至少有一个黑球”与“都是红球”．
13.已知结论：“在三边长都相等的△ABC 中，若D 是BC 和中点，G 是△ABC 的外心，则2=GD
AG ，”若把此结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体中，若M 是△BCD 的三边中线的交点，O 为四面体的外接球的球心，则=OM
AO ▲ ” 14.36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2236=23?，所以36的所有正约数之和为
22222222(133)(22323)(22323)(122)133)91++++?+?++?+?=++++=（
参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为 ▲ .
二．填空题：（14+14+14+16+16+16）
15. 设复数（，，是虚数单位），且复数满足，复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上.
⑴求复数；
(2)若为纯虚数(其中）,求实数的值.
16.某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：
组号 分组 频数 频率 第一组
[230，235） 8 0.16 第二组
[235，240） ① 0.24 第三组
[240，245） 15 ② 第四组
[245，250） 10 0.20 第五组 [250，255] 5
0.10 合 计
50 1.00 （1）写出表中①②位置的数据；
（2）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；
（3）在（2）的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．
17. （本小题满分14分）
（Ⅰ）求证：当2a >时，222a a a ++-<；
（Ⅱ）证明：532，， 不可能是同一个等差数列中的三项.
18. 有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用()y x ,表示结果，其中x 表示第1颗出现的点数（面朝下的数字），y 表示第2颗出现的点数（面朝下的数字）.
（1）求事件“点数之和不小于4”的概率；
（2）求事件“点数之积能被2或3整除”的概率.
19. 如图是华侨高级中学2018年校园“十佳歌手”大奖赛上，七位评委为甲、乙两位选手打出的分数的茎叶图.
（1）写出评委为乙选手打出分数数据的众数，中位数；
（2）求去掉一个最高分和一个最低分后，两位选手所剩数据的平均数和方差，根据结果比较，哪位选手的数据波动小？
20. 问题1：△ABC 的内心为O ，连结OA ，OB ，OC ，将△ABC 分割为三个小三角形， 则这三个小三角形的高都是r ，底边长分别为a ，b ，c ；则三角形的面积为
S ＝12ar ＋12br+12cr=12
(a ＋b ＋c )r ， 类比：设四面体A －BCD 的内切球球心为O ，连结OA ，OB ，OC ，OD ，将四面体分割成四个小三棱锥，其中S 1，S 2，S 3，S 4为四个面的面积，r 为内切球的半径利用类比推理可以得出四面体的体积并证明
问题2：“求方程x x x 543=+的解”有如下思路；方程x
x x 543=+可变为 x x ??? ??+??? ??5453＝1，考察函数)(x f ＝x x ??
? ??+??? ??5453，由于1)2(=f 而)(x f 在R 上是减函数， 1)(=x f 所以原方程有唯一解2=x
仿此解法求解不等式：)32()32(326+++>+x x x x 甲 乙 7 8 9 9 4 4 4 6 7 3 9 7 6 6 4 3 2
江苏省连云港市2019-2020学年下学期期中考试
高二数学（文）试题参考答案
（分值160分， 时间120分钟）
一填空题：（70分）
1.复数
__________． 【答案】 【解析】
2. 计算=-+|13|i i ___▲___． 【答案】5
3. 给出下列演绎推理：“整数是有理数， ，所以-3是有理数”，如果这个推理 是正确的，则其中横线部分应填写 _▲__ ．答案为：-3是整数
4. 观察下列等式：
1﹣=
1﹣+﹣=+
1﹣+﹣+﹣=++ …
据此规律，第n 个等式可为 +…+
= ▲ 答案为：+…+ ．
7. 观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图
所示，则新生婴儿体重在(2700,3000]的频率为
__________ 答案为：0.3
2400 2700 3000 3300 3600 3900 体重 0 0 001 频率/组距
(第5题)
6. 从编号为80,79,,3,2,1Λ的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为4的样本，若编号为28的产品在此样本中，则这样的样本中产品的最大编号为______【答案】68
7. 已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差为______【答案】0.1
8.已知，y=tanx 的周期T=π，函数y=f （x ）满足，x ∈R ，（a 是大于零常数），则函数y=f （x ）的周期是 ．答案为：4a
9. 从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 ．【答
案】
3
1 10. 用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于
”时，结论的否定是__________．.
【答案】三个角全大于
11. 一只蚂蚁在一边长为6的正方形区域内随机地爬行,则其恰在离四个顶点距离都大于3的地方的概率______________. 答案为：
44π-
12. 从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是______．(填序号)
①“至少有一个黑球”与“都是黑球”；
②“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”；
③“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”；
④“至少有一个黑球”与“都是红球”．
答案为： (3)
13.已知结论：“在三边长都相等的△ABC 中，若D 是BC 和中点，G 是△ABC 的外心，则2=GD
AG ，”若把此结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体中，若M 是△BCD 的三边中线的交点，O 为四面体的外接球的球心，则=OM AO ▲ ”
答案为：3
14.36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为22
36=23?，所以36的所有正约数之和为22222222(133)(22323)(22323)(122)133)91++++?+?++?+?=++++=（
参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为 ▲ .答案为： 465
二．填空题：（14+14+14+16+16+16）
15. 设复数（，，是虚数单位），且复数满足，复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上.
⑴求复数；
(2)若为纯虚数(其中）,求实数的值. 试题解析： ⑴设，由得：.①35a4b3e752e2524de518964bcf84b9d528ea2ca6]
又复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，则即.②. 由①②联立方程组,解得,或，， ，∴
，. ∴. ⑵由,可得,
为纯虚数，∴，
解得
.
16.（14分）质检部门抽查某批次产品的质量（单位：克），随机检查了其中80件产品，根据样本数据描绘的频率分布直方图如下：
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）若质量在[5.95,6.95)中的产品才算一级品，求在抽查的样本中一级产品共有多少件？
某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：
（1）写出表中①②位置的数据；
（2）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；
（3）在（2）的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．
【解答】解：（1）由频率分布表，可得①位置的数据为50﹣8﹣15﹣10﹣5=12，
②位置的数据为1﹣0.16﹣0.24﹣0.20﹣0.1=0.3，
故①②位置的数据分别为12、0.3；
（2）读表可得，第三、四、五组分别有15、10、5人，共15+10+5=30人，
要求从中用分层抽样法抽取6名学生，
则第三组参加考核人数为15×
=3， 第四组参加考核人数为10×
=2， 第五组参加考核人数为5×=1，
故第三、四、五组参加考核人数分别为3、2、1；
