5
4
mg
k
D．小球从O点运动到P点的过程中电势能减少
2mg
k
【答案】CD
【解析】
【分析】
【详解】
小球以某一初速度从O 点竖直向上抛出，它的轨迹恰好满足抛物线方程2y kx =，说明小球做类平抛运动，则电场力与重力的合力沿y 轴正方向，竖直方向：45qEsin mg =，故
电场强度的大小为E =，故A 错误；小球受到的合力：45F qEcos mg ma ===合，所以a=g ，由平抛运动规律有：
201112k k v t gt ==，，得初速
度大小为0v =，故B 错误；由于201112k k v t gt ==，，又012y v v =，所以通过点P 时的动能为：2220151()242y mg mv m v v k
=+=，故C 正确；小球从O 到P 电势能减少，且减少的电势能等于电场力做的功，即：1·245E qE mg k W cos k
==，故D 正确．故选CD ． 【点睛】
结合小球运动的特点与平抛运动的方程，判断出小球在竖直方向受到重力与电场力在竖直方向的分力大小相等，方向相反，由此求出电场力的大小，再由F=qE 即可求出电场强度；由平抛运动的方程即可求出平抛运动的初速度，以及到达P 时的速度；由动能定理即可求出电势能的变化．
二、第十章 静电场中的能量解答题易错题培优（难）
16．如图甲所示，真空中的电极被连续不断均匀地发出电子（设电子的初速度为零），经加速电场加速，由小孔穿出，沿两个彼此绝缘且靠近的水平金属板A 、B 间的中线射入偏转电场，A 、B 两板距离为d 、A 、B 板长为L ，AB 两板间加周期性变化的电场，
AB U 如图乙所示，周期为T ，加速电压为2122mL U eT
=，其中m 为电子质量、e 为电子电量，L 为A 、B 板长，T 为偏转电场的周期，不计电子的重力，不计电子间的相互作用力，且所有电子都能离开偏转电场，求：
(1)电子从加速电场1U 飞出后的水平速度0v 大小？
(2)0t =时刻射入偏转电场的电子离开偏转电场时距A 、B 间中线的距离y ；
(3)在足够长的时间内从中线上方离开偏转电场的电子占离开偏转电场电子总数的百分比。
【答案】(1) 02L v T =；(2) 2
08eU T md
；(3) 31.7% 【解析】
【分析】
【详解】
(1)加速电场加速。由动能定理得
21012
qU mv = 解得
02L v T
= (2)电子在偏转电场里水平方向匀速运动，水平方向有
0L v t = 所以运动时间
2
T t = 则0t =时刻射入偏转电场的电子，在竖直方向匀加速运动，竖直方向有
22
2001812()22eU eU T T md y at md
=??== (3)由上问可知电子在电场中的运动时间均为2
T t =
，设电子在0U 时加速度大小为1a ，03U 时加速度大小为2a ，由牛顿第二定律得： 01U e ma d ?=，023U e ma d ?= 在02T 时间内，设1t 时刻射入电场中的电子偏转位移刚好为0，则： 221111*********T T a t a t t a t ??????=---?? ? ?????????
解得
14T t = 在02
T 时间内，04
T 时间内射入电场中的电子均可从中垂线上方飞出。 2T
T 这段时间内，设能够从中垂线上方飞出粒子的时间间隔为2t ，2t T t =-时刻射入的电子刚好偏转位移为0，则有
222222212112222T T a t a t t a t ??????=---?? ? ?????????
解得
223t T -=
所以 12334t t t T ??-?=+= ? ???
所以从中线上方离开偏转电场的电子占离开偏转电场电子总数的百分比
33100%31.7%t T η?-=
=?≈ 17．在空间中取坐标系Oxy ，在第一象限内平行于y 轴的虚线MN 与y 轴距离为d ，从y 轴到MN 之间的区域充满一个沿y 轴正方向的匀强电场，如图所示．一电子从静止开始经电压U 加速后，从y 轴上的A 点以平行于x 轴的方向射入第一象限区域，A 点与原点O 的距离为h ．不计电子的重力．
（1）若电子恰好从N 点经过x 轴，求匀强电场的电场强度大小E 0；
（2）匀强电场的电场强度E 大小不同，电子经过x 轴时的坐标也不同．试求电子经过x 轴时的x 坐标与电场强度E 的关系．
【答案】（1）024Uh E d =
（2）Uh x E
=或22d Uh x Ed =+ 【解析】
【分析】 本题考查电子在电场中的受力及运动
【详解】
设电子的电荷量为e 、质量为m ，电子经过电场加速后获得速度v 0．则
2012
eU mv =
（1）电子从A 点运动到N 点，有 00d v t =
0eE a m
= 212
h at =
联立解得电场强度大小 024Uh E d =
（2）讨论两种情况：
①当2
4Uh E d ≥时，电子从电场内经过x 轴，有 0x v t =
eE a m = 212
h at =
联立解得x 坐标与电场强度E 的关系为
x =②当2
4Uh E d <时，电子先离开电场，之后再经过x 轴在电场内运动时间为t 1，有 01d v t =
21112
y at = 1y v at =
在电场外运动时间为t 2，电子做匀速直线运动，有
02x d v t -=
12y h y v t -=
联立解得x 坐标与电场强度E 的关系为
22d Uh x Ed
=+
18．山地滑雪是人们喜爱的一项运动，一滑雪道ABC 的底部是一半径为R 的圆，圆与雪道
相切于C点，C点的切线水平，C点与水平雪地间距离为H，如图所示，D是圆的最高点，一运动员从A点由静止下滑，刚好能经过圆轨道最高点D旋转一周，再经C后被水平抛出，当抛出时间为t时，迎面水平刮来一股强风，最终运动员以速度v落到了雪地上，已知运动员连同滑雪装备的总质量为m，重力加速度为g，不计遭遇强风前的空气阻力和雪道及圆轨道的摩擦阻力，求：
(1)A、C的高度差为多少时，运动员刚好能过D点？
(2)运动员刚遭遇强风时的速度大小及距地面的高度；
(3)强风对运动员所做的功．
【答案】(1)
5
2
R
h= (2)22
1
5
v gR g t
=+；2
2
1
2
h h gt
=-（3）
2
15
()
22
W mv mg H R
=-+
【解析】
【分析】
【详解】
(1)运动员恰好做完整的圆周运动，则在D点有：mg＝m
2
D
v
R
从A运动到D的过程由动能定理得mg(h－2R)＝
1
2
mv2
D
联立解得h＝
5
2
R
.
(2)运动员做平抛运动，运动时间t时在竖直方向的速度为v y＝gt，从A到C由动能定理得5
2
mgR＝
1
2
mv2
C
所以运动员刚遭遇强风时的速度大小为v122
C y
v v
+22
5gR g t
+
此时运动员下落高度为h1＝
1
2
gt2
所以此时运动员距地面高度为h2＝H－h1＝H－
1
2
gt2
(3)设强风对运动员所做的功为W，在运动员的整个运动过程中，由动能定理知
W ＝1
2
mv2－mg
5
2
H R
??
+
?
??
.
19．如图（a），长度L=0.8m的光滑杆左端固定一带正电的点电荷A，其电荷量
Q=；一质量m=0.02kg，带电量为q 的小球B套在杆上．将杆沿水平方向固定
于某非均匀外电场中，以杆左端为原点，沿杆向右为x轴正方向建立坐标系．点电荷A对小球B的作用力随B位置x的变化关系如图（b）中曲线I所示，小球B所受水平方向的合力随B位置x的变化关系如图（b）中曲线II所示，其中曲线II在0.16≤x≤0.20和x≥0.40范围可近似看作直线．求：（静电力常量）
（1）小球B所带电量q;
（2）非均匀外电场在x=0.3m处沿细杆方向的电场强度大小E；
（3）在合电场中，x=0.4m与x=0.6m之间的电势差U．
（4）已知小球在x=0.2m处获得v=0.4m/s的初速度时，最远可以运动到x=0.4m．若小球在x=0.16m处受到方向向右，大小为0.04N的恒力作用后，由静止开始运动，为使小球能离开细杆，恒力作用的最小距离s是多少？
【答案】（1）6
110C
-
?（2）（3）800 V（4）0.065m
【解析】
【分析】
【详解】
（1）由图可知，当x=0.3m时，
因此．
（2）设在x=0.3m处点电荷与小球间作用力为F2，
F合=F2+qE
因此
电场在x=0.3m 处沿细杆方向的电场强度大小为3?，方向水平向左． （3）根据图像可知在x=0.4m 与x=0.6m 之间合力做功大小
W 合=0.004?0.2 J=8?10-4J
由qU=W 合
可得 （4）由图可知小球从x=0.16m 到x=0.2m 处
电场力做功
小球从到处 电场力做功2W =12-
2mv =31.610--?J 由图可知小球从到处
电场力做功3W =－0.004×0.4 J=31.610--?J
由动能定理1W +2W +3W +F s 外=0
解得s =
【点睛】
通过图线1位置0.3m 处和库仑定律计算小球B 带电量；再根据图像分析0.3m 处合力向左，库仑力向右，可以计算出该位置外加电场的电场力，进而计算外加电场电场强度；在0.4m 到0.6m 处合电场是匀强电场，根据qU=W 合可以计算两位置电势差；通过动能定理计算距离．
20．如图所示，真空室中电极K 发出的电子（初速度不计）经过电势差为U 1的加速电场加速后，沿两水平金属板C 、D 间的中心线射入两板间的偏转电场，电子离开偏转电极时速度方向与水平方向成45°，最后打在荧光屏上，已知电子的质量为m 、电荷量为e ，C 、D 极板长为l ，D 板的电势比C 板的电势高，极板间距离为d ，荧光屏距C 、D 右端的距离为16
．电子重力不计．求：
(1)电子通过偏转电场的时间t0；
(2)偏转电极C、D间的电压U2；
(3)电子到达荧光屏离O点的距离Y．
【答案】（1）
1
2
m
l
eU
（2）
1
2d
U
l
