. .. 绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将
试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按
以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则
A ．{|0}A
B x x =
C ．{|1}A B x x =>U
D ．A B =?I
2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方
形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A ．14
B ．π
8 C ．12 D ．π
4
3．设有下面四个命题
1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；
3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；
4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为
A ．13,p p
B ．14,p p
C ．23,p p
D ．24,p p
4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范
. ..
围是
A ．[2,2]-
B ．[1,1]-
C ．[0,4]
D ．[1,3] 6．621(1)(1)
x x
++展开式中2x 的系数为 A ．15
B ．20
C ．30
D ．35 7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长
为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为
A ．10
B ．12
C ．14
D ．16 8．右面程序框图是为了求出满足3n ?2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入
A ．A >1 000和n =n +1
B ．A >1 000和n =n +2
C ．A ≤1 000和n =n +1
D ．A ≤1 000和n =n +2
9．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3
)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
π6
个单位长度，得到曲线C 2 B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
π12个单位长度，得到曲线C 2
C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的
12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2
D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12
个单位长度，
. ..
得到曲线C 2
10．已知F 为抛物线C ：y 2
=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，
直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为
A ．16
B ．14
C ．12
D ．10 11．设xyz 为正数，且235x y z ==，则
A ．2x <3y <5z
B ．5z <2x <3y
C ．3y <5z <2x
D ．3y <2x <5z
12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解
数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21
，再接下来的三项是20，21，22，依此类推。求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂。那么该款软件的激活码是
A ．440
B ．330
C ．220
D ．110 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= .
14．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤??+≥-??-≤?
，则32z x y =-的最小值为 .
15．已知双曲线C ：22
221x y a b
-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点。若∠MAN =60°，则C 的离心率为________。
16．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O 。D 、E 、F 为圆O
上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥。当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3
）的最大值为_______。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考
生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为2
3sin a A
（1）求sin B sin C ;
. .. （2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.
18.（12分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o .
（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=o ，求二面角A -PB -C 的余弦值.
19．（12分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2
(,)N μσ．
（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得16119.9716i i x x ===∑，1616222211
11()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-≈∑∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =???．
用样本平均数x 作为μ的估计值?μ
，用样本标准差s 作为σ的估计值?σ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除????(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．
附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，
160.997 40.959 2=0.0080.09≈．
20.（12分）
已知椭圆C ：22
22=1x y a b
+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，32），P 4（1，32）中恰有三点在椭圆C 上.
（1）求C 的方程；
（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点。若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l
.
.. 过定点.
21.（12分）
已知函数)f x =
（a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=??=?
（θ为参数），直线l 的参数方程为 4,1,x a t t y t =+??=-?
（为参数）. （1）若a =?1，求C 与l 的交点坐标；
（2）若C 上的点到l
a .
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数f （x ）=–x 2
+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│.
（1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；
（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围.
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理科数学参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1. A
2．B 3．B 4．C 5．D 6．C 7．B 8．D 9．D 10．A 11．D 12．A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13
． 14．-5 15
16
3
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考
生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为2
3sin a A
（1）求sin B sin C ;
（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.
解：（1） 由题意可得21sin 23sin ABC a S bc A A
