设函数 F (x) = kg(x) ? f (x) = 2kex (x ?1) ? x2 ? 4x ? 2 ( x ? ?2 ),
F?(x) = 2kex (x ? 2) ? 2x ? 4 = 2(x ? 2)(kex ?1) ,
有题设可得 F (0) ≥0,即 k ? 1 ,
令 F?(x) =0 得, x1 = ? ln k , x2 =-2, (1) 若 1 ? k ? e2 , 则 -2< x1 ≤0,∴ 当 x ? (?2, x1) 时 , F (x) <0, 当 x ? (x1, ??) 时, F (x) >0,即 F (x) 在 (?2, x1) 单调递减,在 (x1, ??) 单调递增,故 F (x) 在 x = x1 取最小值 F (x1) ,而 F (x1) = 2x1 ? 2 ? x12 ? 4x1 ? 2 = ?x1(x1 ? 2) ≥0, ∴当 x ≥-2 时, F (x) ≥0,即 f (x) ≤ kg(x) 恒成立,
(2)若 k ? e2 ,则 F?(x) = 2e2 (x ? 2)(ex ? e2 ) ,
∴当 x ≥-2 时, F?(x) ≥0,∴ F (x) 在(-2,+∞)单调递增,而 F (?2) =0,
∴当 x ≥-2 时, F (x) ≥0,即 f (x) ≤ kg(x) 恒成立,
(3)若 k ? e2 ,则 F (?2) = ?2ke?2 ? 2 = ?2e?2 (k ? e2 ) <0,
∴当 x ≥-2 时, f (x) ≤ kg(x) 不可能恒成立,
综上所述, k 的取值范围为[1, e2 ].
1．（2013 年高考湖北卷（理））设 n 是正整数, r 为正有理数.
(I)求函数 f (x) ? ?1 ? ?x r?1 ? ?r ? 1? x ?1(x ? ?1) 的最小值;
(II)证明: nr?1 ? ?n ? ? 1 r?1 ? nr ? ?n ? ? 1 r?1 ? nr?1 ;
r ?1
r ?1
(III) 设 x ? R , 记 ?? x?? 为 不 小 于 x 的 最 小 整 数 , 例 如
??2??
?
2
,
???
??
?
4 , ????
3? 2 ??
?
?1 .令
S
?
3
81
?
3
82
?
3
83
?
3 125 ,求 ??S ?? 的值.
4
4
4
4
(参考数据: 803 ? 344.7 , 813 ? 350.5 ,1243 ? 618.3 ,1263 ? 631.7 )
【答案】证明:(I) f ?(x) ? ?r ? 1? ?1 ? x?r ? ?r ? 1? ? ?r ? 1? ???1 ? x?r ?1??
? f (x) 在 ??1,0? 上单减,在 ?0, ??? 上单增.
? f ( x)min ? f (0) ? 0
(II)由(I)知:当 x ? ?1时, ?1 ? ?x r?1 ? ?r ? 1? x ? 1 (就是伯努利不等式了)
所证不等式即为:
?? n r ?1 ? ??n r ?1
? ?
?r ?r
? 1? nr ? 1? nr
? ?
?n ?n
? ? 1 r?1 ? ? 1 r?1
若
n
?
2
,则
n r ?1
?
?r
? 1? nr
?
?n
? ? 1 r?1
?
?n
?
r
? 1?
?
???1 ?
1 n
r
? ??
?n
? 1?
?
1
?
n
r ?1
?
???1 ?
1 n
r
? ??
①
???1 ?
1 n
r
? ??
?
?
r n
?1,
?
r n
?
?
n
r ?1
????1 ?
1 n
r
? ??
?1?
r n
?1?
n
r ?1
,故①式成立.
若 n ? 1, nr?1 ? ?r ? 1? nr ? ?n ? ?1 r?1 显然成立.
n r ?1
?
?r
? 1? nr
?
?n
? ? 1 r?1
?
n
?
r
?1?
???1 ?
1 n
r
? ??
?n
? 1?
?
1
?
n
r ?
1
?
???1
?
1 n
r
? ??
②
???1 ?
1 n
r
? ??
?
r n
?1,
r n
?
n
r ?1
????1 ?
1 n
r
? ??
?1?
r n
?
1?
n
r ,故②式成立. ?1
综上可得原不等式成立.
(III)由(II)可知:当
k
?
N*
时,
3 4
? ?k ?
4 3
?
?k
4
? 1?3
? ? ?
?
1
k3
?
3 4
???k
?
4
? 1?3
?
k
4 3
? ? ?
? ? S
?
3 4
125 ? ?k
? k ?81
4 3
?
?k
4
? 1?3
? ? ?
?
3 4
?4 ?1253 ?
?
4
80 3
? ? ?
?
210.225
? S
?
3 4
? 125 ?
?k ? k ?81
4
? 1?3
?
k
4 3
? ? ?
?
3 4
?4 ? 126 3 ?
?
4
813
? ? ?
?
210.9
???S ?? ? 211
1．（2013 年高考陕西卷（理））已知函数 f (x) ? ex , x ? R . (Ⅰ) 若直线 y=kx+1 与 f (x)的反函数的图像相切, 求实数 k 的值; (Ⅱ) 设 x>0, 讨论曲线 y=f (x) 与曲线 y ? mx2 (m ? 0) 公共点的个数.
(Ⅲ) 设 a
b?a
【答案】解:(Ⅰ) f (x)的反函数 g(x) ? ln x . 设直线 y=kx+1 与 g(x) ? ln x 相
切与点 P(x0，
y0 )，
则?????kkx?0
? g'
1? (x0
lnx )?
0
1 x0
?
x0
? e2,k
?
e?2
.所以 k ? e?2
(Ⅱ) 当 x > 0,m > 0 时, 曲线 y=f (x) 与曲线 y ? mx2 (m ? 0) 的公共点个
数即方程 f (x) ? mx 2 根的个数.
由 f (x) ? mx 2 ? m ? e x ,令h(x) ? e x ? h'(x) ? xe x (x ? 2) ,
x2
x2
x2
则 h(x)在 (0,2)上单调递减，这时 h(x) ? (h(2), ??);
h(x)
在(2,??)上单调递增,这时h(x) ? (h(2), ??).
e2 h(2) ?
.
4
h(2)是y ? h(x)的极小值即最小值。
所以对曲线 y=f (x) 与曲线 y ? mx2 (m ? 0) 公共点的个数,讨论如下:
当 m ? (0, e2 ) 时,有 0 个公共点;当 m= e2 ,有 1 个公共点;当 m ?（e2 ，? ?）有
4
4
4
2 个公共点;
(Ⅲ) 设 f (a) ? f (b) ? f (b) ? f (a) ? (b ? a ? 2) ? f (a) ? (b ? a ? 2) ? f (b)
2
b?a
2 ? (b ? a)
? (b ? a ? 2) ? ea ? (b ? a ? 2) ? eb ? (b ? a ? 2) ? (b ? a ? 2) ? eb?a ? ea
2 ? (b ? a)
2 ? (b ? a)
令 g(x) ? x ? 2 ? (x ? 2) ? e x , x ? 0,则g'(x) ? 1 ? (1 ? x ? 2) ? e x ? 1 ? (x ?1) ? e x .
g'(x)的导函数 g''(x) ? (1 ? x ?1) ? e x ? x ? e x ? 0,所以g'(x)在（0，? ?）上单调递增
,且 g'(0) ? 0.因此g'(x) ? 0，g(x)在(0,??)上单调递增,而g(0) ? 0,
所以在(0,??)上g(x) ? 0 .
?当x ? 0时，g(x) ? x ? 2 ? (x ? 2) ? e x ? 0且a ? b,
(b ? a ? 2) ? (b ? a ? 2) ? eb?a ?
?ea
?0
2? (b ? a)
所以当a < b时, f (a) ? f (b) ? f (b) ? f (a)
2
b?a
1．（2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设函数
f
(x)
?
x e2x
?c
(e
=2.71828
是自然对数的底数, c ? R
).
(Ⅰ)求 f (x) 的单调区间、最大值; (Ⅱ)讨论关于 x 的方程 ln x ? f (x) 根的
个数.
【答案】解:(Ⅰ) f ' (x) ? (1? 2x)e?2x ,
由
f
' ( x)
?
0 ,解得
x
?
1 2
,
当
x
?
1 2
时,
f
' ( x)
?
0,
f
(x)
单调递减
所以,函数
f
(x)
的单调递增区间是
(??,
1) 2
(1 ,单调递减区间是 2
, ??)
,
f (1) ? 1 ?c 最大值为 2 2e
x
g(x) ? ln x ? f (x) ? ln x ? ? c
(Ⅱ)令
e2x
x ?(0, ??)
(1)当
x ?(1, ??) 时, ln
x
?
0 ,则
g(x)
?
ln
x
?
x e2x
?c
,
g ' (x) ? e?2x ( e2x ? 2x ?1)
所以,
x
e2x
?0 因为 2x ?1 ? 0 , x
所以 g ' (x) ? 0
因此 g(x) 在 (1, ??) 上单调递增.
(2)当
x ?(0,1) 时,当时, ln
x
?
0
,则
g(x)
?
? ln
x
?
x e2x
?c ,
g ' (x) ? e?2x (? e2x ? 2x ?1)
所以,
x
因为 e2x ? (1, e2 ) , e2x ? 1 ? x ? 0 ,又 2x ?1 ?1
? e2x ? 2x ?1? 0 所以 x
所以 g ' (x) ? 0
因此 g(x) 在 (0,1) 上单调递减.
综合(1)(2)可知 当 x ?(0, ??) 时, g(x) ? g(1) ? ?e?2 ? c , 当 g(1) ? ?e?2 ? c ? 0 ,即 c ? ?e?2 时, g(x) 没有零点,
故关于 x 的方程 ln x ? f (x) 根的个数为 0; 当 g(1) ? ?e?2 ? c ? 0 ,即 c ? ?e?2 时, g(x) 只有一个零点,
故关于 x 的方程 ln x ? f (x) 根的个数为 1; 当 g(1) ? ?e?2 ? c ? 0 ,即 c ? ?e?2 时,
①当 x ?(1, ??) 时,由(Ⅰ)知
g(x)
?
ln
x?
x e2x
?c
?
ln
x ? (1 e?1 2
? c)
?
ln
x ?1?c
