2
所以
f
(
f
(x))
?
x
有解集
? ?
x
?
|
x
?
1?
2
? ?
,又当
x
?
1 2
时,
f
(x)
?
x
,故
? ?
x
?
|
x
?
1?
2
? ?
中的
所有点都不是二阶周期点.
x? 1 ,
4a
当
a
?
1 2
时,有
f
(
f
( x))
?
?4a 2 x,
? ?2a
?
4a
2
x,
?
?2a(1? 2a) ?
4a 2 x,
1 ?x? 1,
4a
2
1 ? x ? 4a ?1,
??4a2 ? 4a2 x,
2
4a
x ? 4a ?1.
4a
所以
f ( f (x)) ? x
有
四
个
解
2a 2a 4a2
0,
1?
4a2
, 1?
2a
, 1?
4a2
,又
f (0) ? 0, f ( 2a ) ? 2a , 1? 2a 1? 2a
f
( 1
2a ? 4a2
)
?
2a 1? 4a2
,
f
( 1
4a ? 4a
2
)
?
4a 1? 4a2
,故只有 2a 1? 4a2
,
1
4a2 ? 4a
2
是
f
(x)
的二阶
周期点.综上所述,所求 a 的取值范围为 a ? 1 . 2
(3)由(2)得
x1
?
2a 1? 4a2
,
x2
?
4a2 1? 4a2
,
因为
x3
为函数
f
(
f
(x)) 的最大值点,所以
x3
?
1 4a
或
x3
?
4a ?1 4a
.
当
x3
?
1 4a
时, S(a)
?
2a ?1 4(1? 4a2 )
.求导得: S
'(a)
?
?
2(a ? 1? 2 )(a ? 1?
2
2
(1? 4a2 )2
2)
,
所以当 a ? (1 ,1? 2 ) 时, S(a) 单调递增,当 a ? (1? 2 , ??) 时 S(a) 单调递减;
22
2
当
x3
?
4a ?1 4a
时,
S (a)
?
8a2 ? 6a ?1 4(1? 4a2 )
,求导得:
S
'(a)
?
12a2 ? 4a ? 3 2(1? 4a2 )2
,
因
a
?
1 2
,从而有
S
'(a)
?
12a2 ? 4a 2(1? 4a2
?3 )2
?
0
,
所以当 a ? (1 , ??) 时 S(a) 单调递增. 2
1．（2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））设
f ? x? ? a ? x ? 5?2 ? 6ln x ,其中 a ? R ,曲线 y ? f ?x? 在点 ?1, f ?1?? 处的切线与
y 轴相交于点 ?0,6? .
(1)确定 a 的值;
(2)求函数 f ? x? 的单调区间与极值.
【答案】
f (3) ? 2 ? 6ln 3
1．（2013
年高考四川卷（理））已知函数
f
(x)
?
?x2 ?
?
2x
?
a,
x
?
0
,其中
a
是实数.
?ln x, x ? 0
设 A(x1, f (x1)) , B(x2 , f (x2 )) 为该函数图象上的两点,且 x1 ? x2 .
(Ⅰ)指出函数 f (x) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f (x) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直,且 x2 ? 0 ,求 x2 ? x1 的最 小值; (Ⅲ)若函数 f (x) 的图象在点 A, B 处的切线重合,求 a 的取值范围.
【答案】解: ??? 函数 f ? x? 的单调递减 区间为 ???,?1? ,单调递增区间为
??1,0? , ?0,???
???? 由导数的几何意义可知,点 A 处的切线 斜率为 f ?? x1? ,点 B 处的切线斜率为 f ?? x2 ? ,故当点 A 处的切线与点 B 处的切垂直时,有 f ?? x1? f ?? x2 ? ? ?1. 当 x ? 0 时,对函数 f ? x? 求导,得 f ?? x? ? 2x ? 2 .
因为 x1 ? x2 ? 0 ,所以 ?2x1 ? 2??2x2 ? 2? ? ?1,
所以 ?2x1 ? 2? ? 0,?2x2 ? 2? ? 0 .
因此
x2
?
x1
?
1 2
??? ? 2 x1
?
2?
?
? 2 x2
?
2???
?
??2x1 ? 2??2x2 ? 2? ? 1
当且仅当
??2x1
?
2?
= ?2x2
?
2? =1,即
x1
?
?
3 2
且x2
?
1 2
时等号成立.
所以函数 f (x) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直时, x2 ? x1 的最小值为 1
????? 当 x1 ? x2 ? 0 或 x2 ? x1 ? 0 时, f ?? x1? ? f ?? x2 ? ,故 x1 ? 0 ? x2 .
当 x1 ? 0 时,函数 f (x) 的图象在点 ? x1, f ? x1?? 处的切线方程为
? ? y ? x12 ? 2x1 ? a ? ?2x1 ? 2?? x ? x1? ,即 y ? ?2x1 ? 2? x ? x12 ? a
当 x2 ? 0 时,函数 f (x) 的图象在点 ? x2, f ? x2 ?? 处的切线方程为
y
? ln
x2
?
1 x2
?x
?
x2 ?
,即
y
?
1 x2
?
x
? ln
x2
?1.
?
两切线重合的充要条件是
? ?
1 x2
?
2x1
?2
①
??ln x2 ?1 ? ?x12 ? a ②
由①及 x1 ? 0 ? x2 知, ?1 ? x1 ? 0 .
由①②得,
a
?
x12
?
ln
1 2x1 ?
2
?1
?
x12
?
ln
? 2 x1
?
2?
?1
.
设 h? x1? ? x12 ? ln?2x1 ? 2? ?1(?1? x1 ? 0) ,
则
h??
x1
?
?
2 x1
?
1 x1 ?1
?
0
.
所以 h? x1???1? x1 ? 0?是减函数.
则 h? x1? ? h?0? ? ?ln 2 ?1,
所以 a ? ?ln 2 ?1.
又 当 x1 ? (?1,0) 且 趋 近 于 ?1 时 , h? x1? 无 限 增 大 , 所 以 a 的 取 值 范 围 是
??ln 2 ?1,??? .
故 当 函 数 f (x) 的 图 像 在 点 A, B 处 的 切 线 重 合 时 , a 的 取 值 范 围 是
??ln 2 ?1,???
1．（2013 年高考湖南卷（理））已知 a ? 0 ,函数 f (x) ? x ? a . x ? 2a
(I)记 f (x)在区间?0, 4?上的最大值为g(a),求 g(a)的表达式;
(II)是否存在 a ,使函数 y ? f (x) 在区间 ?0, 4? 内的图像上存在两点,在该两
点处的切线相互垂直?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】解:
a
?
0,
f
(x)
?
? x?a ?? x ? 2a
?1-
3a x ? 2a
,当x
?
?2a, 或x
?
a时，是单调递增的。
? ? ??
? x
x ?
?a 2a
?
-1
?
x
3a ? 2a
,当
?
2a
?
x
?
a时，是单调递减的。
(Ⅰ) 由上知，当a ? 4时，f (x)在x ?[0,4]上单调递减，其最大值为f (0) ? -1? 3a ? 1
2a 2
当a ? 4时，f (x)在[0, a]上单调递减，在 [a,4]上单调递增。
令f (4) ?1- 3a ? f (0) ? 1 , 解得：a ?(1,4],即当a ?(1,4]时，g(a)的最大值为f (0);
4 ? 2a
2
当a ?(0,1]时，g(a)的最大值为 f (4)
综上，g(a)
?
???1
-
4
3a ? 2a
,当a
?
(0,1]时
? ? ??
1 2
,当a
?
(1,??)时
(II)由前知,y=f(x)的图像是由两段反比例函数的图像组成的.因此,若在图
像上存在两点 P(x1, y1), Q(x2, y2 ) 满足题目要求,则 P,Q 分别在两个图像上,且
f '(x1) ? f '(x2) ? ?1 .
? ?? ( x
3a ? 2a)2
,当x
?
?2a, 或x
?
a时
f
' ( x)
?
? ? 3a
? ?
(
x
?
2a)2
,当
?
2a
?
x
?
a时
?0 ? a ? 4 ? ?
不妨设
( x1
3a ? 2a)2
?
? 3a (x2 ? 2a)2
?
?1, x1 ? (0, a),
x2
? (a,8] ? 3a
?
( x1
?
2a)( x2
?
2a)
?0
?
x1x2
?
2a( x1
?
x2 ) ?
4a2
? 3a
?
x1
?
3a ? 2ax2 ? x2 ? 2a
4a2
?
? ?0 ? ? ??a ?
3a ? 2ax2 ? 4a2 x2 ? 2a
x2 ? 8
?
a
?
?0 ? 3 ? 2x2 ??1 ? x2 ? 2a ??a ? x2 ? 8
?
4a
?
?2x2 ? 3 ? 4a ??2 ? 4a ? 2x2 ??2a ? 2x2 ? 16
?
?2 ? 4a ??2a ? 3 ??2 ? 4a
? ? ?
3? 4a 16
4a
?
a
?
1 ，且0 3
?
a
?
4
?
a
?
(0,
1) 2
所以,当 a ? (0, 1) 时,函数 y ? f (x) 在区间 ?0, 4? 内的图像上存在两点,在该
2 两点处的切线相互垂直.
1．（2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版）） 已知函数 f (x) ? x ? a ln x(a ? R) (1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f (x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程;
(2)求函数 f (x) 的极值. 【答案】解:函数 f (x) 的定义域为 (0, ??) , f ?(x) ? 1 ? a .
x (Ⅰ)当 a ? 2 时, f (x) ? x ? 2 ln x , f ?(x) ? 1 ? 2 (x ? 0) ,
x ? f (1) ? 1, f ?(1) ? ?1 , ? y ? f (x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程为 y ?1 ? ?(x ?1) , 即x? y?2?0. (Ⅱ)由 f ?(x) ? 1 ? a ? x ? a , x ? 0 可知:
xx ①当 a ? 0 时, f ?(x) ? 0 ,函数 f (x) 为 (0, ??) 上的增函数,函数 f (x) 无极值; ②当 a ? 0 时,由 f ?(x) ? 0 ,解得 x ? a ;
x ? (0, a) 时, f ?(x) ? 0 , x ? (a, ??) 时, f ?(x) ? 0 ? f (x) 在 x ? a 处取得极小值,且极小值为 f (a) ? a ? a ln a ,无极大值. 综上:当 a ? 0 时,函数 f (x) 无极值 当 a ? 0 时,函数 f (x) 在 x ? a 处取得极小值 a ? a ln a ,无极大值. 1．（2013 年高考新课标 1（理））(本小题满分共 12 分)已知函数 f (x) = x2 ? ax ? b , g(x) = ex (cx ? d ) ,若曲线 y ? f (x) 和曲线 y ? g(x) 都过点 P(0,2),且在点 P 处 有 相同的切线 y ? 4x ? 2 (Ⅰ)求 a , b , c , d 的值;(Ⅱ)若 x ≥-2 时, f (x) ≤ kg(x) ,求 k 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)由已知得 f (0) ? 2, g(0) ? 2, f ?(0) ? 4, g?(0) ? 4 , 而 f ?(x) = 2x ? b , g?(x) = ex (cx ? d ? c) ,∴ a =4, b =2, c =2, d =2; (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f (x) ? x2 ? 4x ? 2 , g(x) ? 2ex (x ?1) ,
