高等代数和解析几何第七章(1~3习题集)线性变换和相似矩阵答案解(9)

现证向量组线性无关：

设

，有，即

，所以向

量可由向量

组线性表示，进而有

，整理有

，

又因线性无关，所以必有，

因此线性无关，即为的一个基，故

。

习题7.1.13证明关于定义7.1.12中所定义的线性映射的加法与数量乘法构成上的一个线性空间。

证明：现证明定义7.1.12中所定义的线性映射的加法与数量乘法都是从到的线性映射。

事实上，对，，有

故为到的线性映射。同理，对，，有

，

，

故为到的线性映射。

另外线性映射的加法与数量乘法显然满足：