投资金就业人年份 GDP值 额 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2010 346.57 395.38 459.83 581.56 680.46 742.05 892.29 1117.66 1293.94 1511.19 1810.54 2196.53 2770.37 3844.5 4953.35 5883.8 6537.07 7021.35 7493.84 8337.47 9195.04 10275.5 12078.15 数 2885.4 2948.6 3029.7 3140.4 3276.8 3425.0 3561.5 3680.1 3803.4 3927.4 4219.3 4302.6 4379.3 4382.1 5207.4 5227.9 5256.0 5287.6 5314.7 5441.8 5475.3 5527.0 5620.6 79.60 85.00 96.46 140.15 194.33 223.08 297.77 369.82 305.54 335.66 439.82 601.50 892.48 1108.00 1320.97 1558.01 1792.22 2056.97 2222.17 2542.65 2807.79 3509.29 5328.44 GDP:亿元；投资金额：亿元；就业人数：万人；
在实际生产中，人们关心的往往是生产的增长量，而不是绝对量，因此定义投资金额指数iK?t?，就业人数指数iL?t?和省内生产总值指数iQ?t?分别为
iQ?t??iL?t??iK?t??Q?t?Q?0?L?t?L?0?,,.
K?t?K?0?
利用上述定义的三个指数公式，通过使用matlab软件计算出表3中1981年到2003年的省内生产总值指数iQ?t?，投资金额指数iK?t?，和就业人数指数iL?t?的一
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组数据，取1990年为基年,则t=0.
t -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 iQ?t? iL?t? iK?t? 0.2127 0.2724 0.3166 0.4057 0.5630 0.6908 0.8396 1.0302 0.9763 1 1.2384 1.7886 2.8937 3.9462 4.5434 5.1707 5.5915 6.3568 6.5865 7.3294 8.4089 9.9716 12.9754 0.6969 0.7160 0.7303 0.7441 0.7703 0.8125 0.7920 0.8391 0.8545 1 1.0115 1.0217 1.0318 1.0418 1.0512 1.0649 1.0783 1.0909 1.1026 1.1133 1.1278 1.1389 1.1495 0.2612 0.2848 0.3198 0.3870 0.4830 0.5489 0.6438 0.8033 0.9083 1 1.166 1.4391 1.8837 2.5701 3.1953 3.7473 4.1703 4.4355 4.7269 5.2355 5.7734 6.3625 7.2215 表3
从表中可知，在正常的经济发展过程中（除个别年份外），上述三个指标都是随时间增长的，但是很难直接从表中发现具体的经济规律.为了定量分析，定义两个新的变量
??t??lniL?t?iK?t?iQ?t?iK?t?,
??t??ln ?t??9,?,13?
.
根据表中数据，在直角坐标系上做出????t?,??t??|t??9,?,27?的散点图，发现??t?,??t?基本上成正比例关系（散点位于一条直线的附近），如图5
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图5 ??t?,??t?散点图
我们可以用MATLAB软件中的curvefit()函数来作数据拟合，即寻求函数Q(K，L)中的未知参数A,?,?，使这个函数尽量逼近表5-2-2所给出的统计数据.
则可以得到：
A?0.8838, ??0.8471, ??0.4991.
于是公式变为：
Q?0.8838L0.8471
K0.4991
这就是产值Q随资金K、劳动力L的变化规律.
5.2.3 模型的检验：
为了对所建立的模型进行检验，我们利用得出的道格拉斯函数对每年的GDP指数做出了预测，结果如下表4所示，然后利用已有的GDP指数进行比较，最后得出所建立的道格拉斯函数是有意义的，可以正确表示出省内生产总值与资金与劳动之间的关系.
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t -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 预测值 0.2761 0.3362 0.3793 0.4615 0.5991 0.7061 0.8262 0.9742 0.9382 0.9889 1.1697 1.5580 2.2655 2.8862 3.2250 3.5745 3.8079 4.2159 4.3433 4.7276 5.2727 6.0289 7.4063 实际值 0.2612 0.2848 0.3198 0.3870 0.4830 0.5489 0.6438 0.8033 0.9083 1 1.1660 1.4391 1.8837 2.5701 3.1953 3.7473 4.1703 4.4355 4.7269 5.2355 5.7734 6.3625 7.2215 表4 为了形象的表示出预测值与实际值之间的关系，我们做出了下图6，通过图表可以发现，道格拉斯函数已经可以很精确的表示来省内生产总值的变化趋势：
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图6 省内生产总值的预测与实际比较图
增加生产、发展经济所依靠的主要因素有增加投资、增加劳动力以及技术革新等，在研究省民经济产值与这些因素的数量关系时，由于技术水平不像资金、劳动力那样容易定量化，作为初步的模型，可认为技术水平不变，只讨论产值和资金、劳动力之间的关系.在科学发展不快时，如资本主义经济发展的前期，这种模型是有意义的.从而可以说明省内生产总值增长与资本及劳动之间满足柯布—道格拉斯（Cobb-Dauglas）生产函数的关系.
6. 模型的评价与推广
6.1 模型的优点：
在问题一中，多元回归模型，因变量省内生产总值的99.89%可由模型确定，说明模型从整体上来看是可用的.
在问题二中，运用了柯布—道格拉斯生产函数，使该模型的建立有理论依据作
支撑，且有助于对模型的结果进行分析.在分析省内生产总值与投资和劳动力关系是，忽略其他因素，从而简化了模型，便于大概的预测.
6.2 模型的缺点：
问题一中，由于省内生产总值受国际经济、政府政策、自然灾害等因素的影响，所以某一时期GDP波动幅度较大，因此影响了模型整体预测的准确性.
问题二中，忽略其他因素对省内生产总值的影响，和实际问题存在的误差.一定
历史时期的生产函数是反映当时的社会生产力水平的.
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