变量的关系函数是一种常用的有效方法.我们通过回归模型的建立，定量预测了未来经济的发展.
5.1.1 GDP与工业值、建筑业及农林渔业产值数量模型：
通过在互联网上搜集到1981年～2010年，山东省GDP与工业值、建筑业及农林渔业产值的数据（见附表1），可以定性的看出GDP与工业、建筑业及农林渔业产值为整体上升的趋势.为了大致分析GDP与工业值、建筑业及农林渔业产值关系，我们首先利用附录数据做出了GDP与工业产值的关系散点图（如图1）.
图1 工业产值与GDP散点图
从图可以发现，随着工业产值的增加，GDP的值有比较明显的线性增长趋势.图中的直线是用线性模型
y??0??1x1??
拟合的.
同理我们也分别作出了建筑业产值与GDP的关系散点图（图2）、农林渔业产值与GDP的关系散点图（图3）.
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图2 建筑业产值与GDP散点图
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图3 农林渔业产值与GDP散点图
通过图2，图3可以看出建筑业产值与农林渔业产值同样有很强的线性关系，同样也分别用直线模型对其拟合.
建筑业产值与GDP线性模型
y??0??2x2??
农林渔业产值与GDP线性模型
y??0??3x3??
因此，综上所述四者之间有很强的线性关系，可建立多元线性回归模型
y??0??1x1??2x2??3x3??
在模型中除了工业，建筑业，农林渔业外，影响国内生产总值的其他因素的作用都包含在随机误差?内，这里假设?相互独立，且服从均值为零的正态分布，
t?1,2,?,n.
对模型直接利用matlab统计工具箱求解，得到回归系数估计值及其置信区间（置信水平?'= 0.05），检验统计量R2，F，P的结果见表1.
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参数 ?0 参数估计 -80.7854 1.1521 5.5154 1.1139 置信区间 [-265.3513,103.7804] [1.0356,1.2685] [4.3792,6.6515] [0.6934,1.5345] ?1 ?2 ?3 22R?0.9997 F=29666 P?0.0001 s?0.0389 表1 模型的计算结果
5.1.2 结果分析:
表1显示，R2?0.9054指因变量y（国内生产总值）的99.97%可由模型确定，F值远远超过F检验的临界值，p远小于?，因而模型从整体上来看是可用的.
??0，?1，?2，?3的估计值，即?0?-80.7854 表1的回归系数给出了模型中????1?1.1512，?2?5.5154，?3?1.1139.检查它们的置信区间发现?0与?3的置信区间都包含零点，这表明回归模型常数与回归变量x3对模型的影响不太显著.这也符合这一事实，农林渔业产值对GDP的影响较小，工业与建筑业对GDP的影响较大.但是一般情况下常数的值都保留在模型中，不剔除.回归变量系数?3区间右端点相对距零点较远，所以我们也保留在模型中.因此最终确定的模型为：
y??0??1x1??2x2??3x3??
5.2 问题二模型的建立与求解：
在问题二中为了讨论省内生产总值增长与资本及劳动之间的关系，通过查阅相关资料，我们了解到省内生产总值通常取决于相关的生产资料和劳动力等相关重要因素.于是我们通过建立柯布—道格拉斯生产函数，来探讨省内生产总值增长与资本及劳动之间的关系，进而利用已有的数据验证其结果.
5.2.1 模型的建立:
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在经济学的分析中，为了简化分析，通常假定生产中只有劳动和资本这两种生产要素.若以L表示劳动投入量，以K表示资本投入数量，则生产函数可以写为：Q?f?L,K?生产函数表示生产中的投入量和产出量之间的依存关系，这种关系普遍存在于各种生产过程中.一家工厂必然具有一个生产函数，一家饭店也是如此，甚至一所学校或者医院同样会存在着各自的生产函数，产品可能是实实在在的有形产品，也可能是无形产品比如服务.估计和研究生产函数，对于经济理论和实践经验都具有一定意义.
柯布—道格拉斯（Cobb-Dauglas）生产函数是由数学家柯布和经济学家道格拉斯于20世纪30年代初一起提出来的.柯布—道格拉斯生产函数被认为是一种很有用的生产函数，因为该函数以极简单的形式描述了经济学家所关心的一些性质，它在经济理论的分析和实证研究中都有具有一定意义.柯布—道格拉斯生产函数的函数表达式如下：
??Q?AKL?A,?,??0?
其中，Q代表产出量,K代表资本投入量,L代表劳动投入量,A、?、?为未知参数.
表示技术或管理等参数对经济增长的影响系数, ?和?分别表示劳动和
资本对产出的贡献程度,且0???1,0???1.对该生产函数取对数得:
InQ?InA??InL??InK
由于柯布―道格拉斯生产函数假设技术、管理水平不变,即A是一个常数, 在此可以忽略A的影响.所以，可简化为:
InQ??InL??InK
求出道格拉斯函数以后，我们通过道格拉斯函数可以预测出来每一年的GDP总产值，然后利用题目所提供的数据进行检验，可以发现道格拉斯很好的表示出来了省内生产总值的增长和投资与劳动之间的关系.
5.2.2 模型的求解:
为了求解上述模型，通过分析题目所给数据和从网上查找相关数据，我们列出了我省从1981年到2003的GDP总值，投资金额总和和我省就业人数的表2如下：
表2
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