庖丁巧解牛
知识·巧学·升华 一、力的分解 1.定义
拖拉机拉着耙，对耙的拉力是斜向上方的，我们可以说，这个力产生两个效果：使耙克服泥土的阻力前进，同时把耙向上提，使它不会插得太深。这两个效果相当于两个力分别产生的（图3-5-1）一个水平的力F1使耙前进，一个竖直向上的力F2把耙向上提。可见力F可以用两个力F1和F2来代替，力F1和F2是力F的分力。求一个力的分力叫做力的分解。
图3-5-1 拖拉机对耙的拉力产生两个作用效果
如果一个力的作用可以用几个力的共同作用来等效替代，这几个力称为这个力的合力。求一个已知力的分力叫做力的分解。 2.力的分解的平行四边形定则
力的分解是力的合成的逆运算，同样遵守平行四边形定则，即以已知力作为平行四边形的对角线画平行四边形，与已知力共点的平行四边形的两条邻边表示两个分力的大小和方向。
误区警示 注意此处空半格（1）分力与合力是等效替代的关系，不能同时共存， 也就是说，受力分析时在考虑了分力之后就不能再重复考虑合力，（2）分解力时，应注意分力与合力的受力物体是相同的。 3.力的分解的意义
若不加任何限制条件，将一个已知力分解为两个分力时可以有无数种分解方式，所以对力的分解就必须加以限制，否则，力的分解将无实际意义。通常在实际中，我们是根据力的实际作用效果来分解一个力。这就要求在力的分解之前必须搞清楚力的实际作用效果，这样就确定了分力的方向，力的分解将是唯一的。一个已知力究竟如何分解，应根据实际情况而定。
图3-5-2 一个力可以产生几个不同的效果
误区警示 注意此处空半格既然力的分解可以有无数种分解方式，为什么还说力的分解是唯一的？
具体问题中将一个力分解为两个分力必须根据一个力在该问题中的实际作用效果来分解，这就要求在力的分解之前必须搞清楚力的效果，搞清了力的效果，也就搞清了力的分解方向，而搞清了各个力的方向后，分解将是唯一的，具体做法是：（1）先根据力的实际作用效果确定两个分力的方向；（2）再根据两个实际分力方向画出平行四边形；（3）根据平行四边形和学过的数学知识求出两分力的大小。 方法点拨 注意此处空半格
力分解最常用的方法——按效果分解。 按效果分解力，就是按照这个力产生的作用来分解力。比如：用一个斜向下的推力F推物体，推力F可以产生两个作用效果，水平向前推物体和竖直向下压紧物体的力。 4.求一个已知力的实际分力的方法步骤
①根据物体（或结点）所处的状态分析力的作用效果； ②根据力的作用效果，确定两个实际分力的方向； ③根据两个分力的方向画出平行四边形；
④根据平行四边形，利用学过的几何知识求两个分力的大小。 5.力的分解的常见类型
按力的效果分解，这实际上就是一个定解条件。对一个已知力分解常有下面的几种情况： （1）已知一个力的大小和方向及两个分力的方向，则两个分力有确定值。
（2）已知一个力的大小和方向及一个分力的大小和方向，则另一个分力有确定值。 （3）已知一个力的大小和方向及两个分力的大小，则两分力大小有确定值（方向不定）。 （4）已知一个力的大小和方向及一个分力的方向，则另一分力无确定值，且当两分力垂直时有最小值。如图3-5-3所示。
图3-5-3
①当F2=Fsinα时，无解。图(a)；
②当F2
对力进行分解时，首先弄清楚定解条件，根据定解条件作出平行四边形图或三角形图，再依据几何知识求解。 6.正交分解法
把一个力分解成两个互相垂直的分力，这种分解方法称为正交分解法。 用正交分解法求合力的步骤：
①首先建立平面直角坐标系，并确定正方向；
②把各个力向x轴、y轴上投影，但应注意的是：与确定的正方向相同的力为正，与确定的正方向相反的为负，这样，就用正、负号表示了被正交分解的力的分力的方向； ③求在x轴上的各分力的代数和Fx合和在y轴上的各分力的代数和Fy合 ④求合力的大小F=(Fx合)?(Fy合)； 合力的方向：tanα=
22Fy合Fx合（α为合力F与x轴的夹角）。
要点提示 注意此处空半格力的正交分解法是把作用在物体上的所有力分解到两个互相垂直
的坐标轴上，分解最终往往是为了求合力（某一方向的合力或总的合力）。 二、矢量相加的法则
1.力的相加，遵循平行四边形定则
2.位移矢量相加
我们还学过位移，它也是矢量。如图3-5-4，一个人从A走到B，发生的位移是AB，又从B走到C，发生的位移是BC。在整个运动过程中，这个人的位移是AC，AC是合位移。 在图3-5-4中，如果平行地移动矢量BC，使它的始端B与第一次位移的始端A重合，于是我们看到，两次位移构成了一个平行四边形的一组邻边，而合位移正是它们所夹的对角线。所以说，位移矢量相加时也遵从平行四边形定则。
图3-5-4
位移也是矢量，求合位移时也要遵从矢量相加的法则，其他矢量相加仍遵循平行四边形定则，因此平行四边形定则是矢量运算的总法则。 3.矢量与标量
（1）矢量：相加时遵从平行四边形定则（或三角形定则）的物理量。 其特点：既有大小，又有方向。
（2）标量：求和时按照算术法则相加的物理量。 其特点：一般只有大小，没有方向。 4.三角形定则
从另一角度看，图3-5-4中，两个位移与它们的合位移又组成一个三角形。像这样把两个矢量首尾相连从而求出合矢量，这个方法叫做三角形定则。 三角形定则与平行四边形定则的实质是一样的。
联想发散 注意此处空半格用力的矢量三角形定则分析力最小值的规律：
①当已知合力F的大小、方向及一个分力F1的方向时，另一个分力F2取最小值的条件是两分力垂直。如图3-5-5所示，F2的最小值为：F2min=Fsinα；
图3-5-5
②当已知合力F的方向及一个分力F1的大小、方向时，另一个分力F2取最小值的条件是：所求分力F2与合力F垂直，如图所示，F2的最小值为：F2min=F1sinα；
③当已知合力F的大小及一个分力F1的大小时，另一个分力F2取最小值的条件是：已知大小的分力F1与合力F同方向，F2的最小值为｜FF1｜。 问题·自主·探究
问题1 为什么越锋利的刀削工具越容易劈开物体？
思路:将作用在劈背上的力F垂直于劈的侧面分解，根据平行四边形定则和几何知识知道，两个分力之间的夹角越小，分力越大。
探究:刀、斧、凿、刨等切削工具的刃部叫劈，使用劈的时候，在劈背上加力F，这个力产生两个作用效果，使劈的侧面挤压物体，把物体劈开。我们可以证明，在F一定时，劈的两个侧面间的夹角越小，使劈的侧面挤压物体的分力就越大。
问题2 如图3-5-6所示，在一个直角支架上，用塑料垫板作斜面，用一根橡皮筋拉着小车静止在斜面上。
图3-5-6
请探究:（1）为什么要分解力？
（2）该例中静止在斜面上的小车所受的重力会产生哪些效果？ （3）你能找出判断力的作用效果的方法来吗？ （4）对一个力可以根据需要任意分解吗？
思路:有时一个力作用在物体上会产生多个作用效果，那么，一个力会产生哪些效果，每一个效果又对应哪个力的作用，这都要通过力的分解来解决。力的分解的本质就在于保证作用效果相同的前提下，用几个力的共同作用代替某一个力的作用，那几个力就是这一个力的“等效力”（分力），它们也是等效替代关系，而且不同时作用于物体上，所以不能把合力和分力同时当成物体受到的力。而要了解某个力的实际作用效果以及大小，实际上就是求这个力的分力的过程，而要求其分力，找出力的作用效果是关键。一般采用假设法来确定力的作用效果，假设硬的东西变软，绳子变得一拉就断或者成为橡皮筋，杆变得非常脆等等，这时想象会发生的情况，就能体会力的作用效果。已知两个作用效果，就知道了力的方向。在分析力的作用效果时，切忌死记硬背。如在光滑斜面上静止的物体，其重力产生的效果是：一是使物体有沿斜面下滑的趋势，二是使物体压紧斜面。但不能就此认为斜面上的物体的重力都这样分解。
探究:(1)力产生了不同作用效果;
(2)重力产生两个效果,使小车沿斜面下滑和使小车压紧斜面; (3)假设法,撤销法,体验法等; (4)可以,比如正交分解法。 典题·热题·新题
例1 将力F分解成F1、F2两个分力，如果已知F1的大小和F2与F之间的夹角α，α为锐角，如图3-5-7所示，则（ ）
图3-5-7
A.当F1＞Fsinα时，一定有两解 B.当F＞F1＞Fsinα时，有两解 C.当F1=Fsinα时，才有唯一解 D.当F1＜Fsinα时，无解
思路解析：由三角形定则可知，另一个分力F1的最小值为F1=Fsinα，当F1=Fsinα时只有唯一解；当F1＜Fsinα时，F、F1、F2三矢量构不成三角形，故无解；当F＞F1＞Fsinα时，可构成两个矢量三角形，有两解，当F1＞Fsinα时，可能构成两个矢量三角形，也可能只构成一个矢量三角形，不能确定是有唯一解，还是有两解。 答案：BCD
例2质量为m的木块在推力F作用下，在水平地面上做匀速运动。已知木块与地面间的动摩擦因数为μ，那么木块受到的滑动摩擦力为（ ）
A.μmg B.μ（mg+Fsinθ） C.μ（mg+Fsinθ） D.Fcosθ
思路解析：木块匀速运动时受到四个力的作用：重力mg、推力F、支持力FN、摩擦力Fμ。沿水平方向建立x轴，将F进行正交分解如图3-5-8(这样建立坐标系只需分解F)，由于木块做匀速直线运动，所以，在x轴上，向左的力等于向右的力（水平方向二力平衡）；在y轴上向上的力等于向下的力（竖直方向二力平衡）。即 Fcosθ=Fμ ① FN=mg+Fsinθ ② 又由于Fμ=μFN ③ ∴Fμ=μ（mg+Fsinθ）故Ｂ、Ｄ答案是正确的。
图3-5-8
答案：BD
例3如图3-5-9所示，假设物体沿斜面下滑，根据重力的作用效果将重力分解，关于分解后的两个分力，下列叙述正确的是（ ）
图3-5-9
A.平行于斜面方向使物体沿斜面下滑的力 B.垂直于斜面压紧斜面的力
C.垂直于斜面使物体压紧斜面的力
D.物体至少要受到重力以及重力的两个分力三个力的作用
思路解析：物体沿斜面下滑过程中，重力产生了两个作用效果，分别为平行于斜面方向使物体沿斜面下滑和垂直于斜面使物体压紧斜面。B选项在于分力的作用点仍作用在物体上而不应该作用于斜面上，分力的作用点应保持不变，所以不正确。D选项重复考虑了力的作用效果。
答案：AC
误区警示 注意此处空半格该题如果对概念理解不透彻的话，可能会造成四个选项全选的错误。由于力的分解只是研究问题的一种方法，分力的作用点必须和已知力的作用点相同。而合力和分力之间为等效代换关系，若考虑了分力的作用效果，就不能考虑合力的作用效果；或者考虑了合力的作用效果后，就不能考虑分力的作用效果，否则就是重复考虑了力的作用效果。
例4 在图3-5-10中，电灯的重力为20 N，绳OA与天花板夹角为45°，绳BO水平，求绳
AO、BO所受的拉力。
图3-5-10 图3-5-11
解：OC绳是对结点O的拉力F等于电灯所受的重力G，方向竖直向下，由于拉力F的作用，AO、BO也受到拉力的作用，因此拉力F产生了两个效果：一是沿向下使O点拉绳AO的分力F1，一是沿绳BO方向水平使O点拉绳BO的分力F2，如图3-5-11所示，由几何知识知：F1=F/cos45°=20 N，所以AO、BO绳受的拉力分别为28.3 N，20 N。
例5如图3-5-12（甲）所示。质量为m的球放在倾角为α的光滑斜面上，试分析挡板AO与斜面间的倾角β为多大时，AO所受压力最小？
图3-5-12
解：虽然题目问的是挡板AO的受力情况，但若直接以挡板为研究对象，因挡板所受力均为未知力，将无法得出结论。以球为研究对象，球所受重力产生的效果有两个：对斜面产生的压力N1、对挡板产生的压力 N2，根据重力产生的效果将重力分解，如图3-5-12（乙）所示， 当挡板与斜面的夹角β由图示位置变化时，N1大小改变但方向不变，始终与斜面垂直，N2的大小和方向均改变，如图3-5-12（乙）中虚线所示，由图可看出挡板AO与斜面垂直时β=90°时，挡板AO所受压力最小，最小压力N2min=mgsinα。
