函数的单调性和奇偶性 一、目标认知 学习目标：
1.理解函数的单调性、奇偶性定义；
2.会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性； 3.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；
4.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.
重点、难点：
1.对于函数单调性的理解； 2.函数性质的应用.
二、知识要点梳理 1.函数的单调性
(1)增函数、减函数的概念
一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间
如果对于M内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在区间M上是增函数；
如果对于M内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在区间M上是减函数.
如果函数f(x)在区间M上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间M上具有单调性，M称为函数f(x)的单调区间. 要点诠释：
[1]“任意”和“都”；
[2]单调区间与定义域的关系----局部性质；
[3]单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； [4]不能随意合并两个单调区间.
(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？ 基本方法：观察图形或依据定义.
2.函数的奇偶性
偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释：
[1]奇偶性是整体性质；
[2]x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；
[3]f(-x)=f(x)的等价形式为：，
f(-x)=-f(x)的等价形式为：；
[4]由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0； [5]若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0； [6]
， .
三、规律方法指导
1.证明函数单调性的步骤：
(1)取值.设
是
定义域内一个区间上的任意两个量，且
；
(2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； (3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系； (4)得出结论.
2.函数单调性的判断方法：
(1)定义法； (2)图象法； (3)对于复合函
数
在区间
同（同时为增或 同时为减）
，则
为
减函数.
为增函数；若
与
单调性相反，则
或者
上是单调函数；若
与
单调性相
，
若
在区
间
上是单调函数，
则
3.常见结论:
(1)若 (2)若
是增函数，则和
为减函数；若
和
是减函数，则
为增函数；
均为增（或减）函数，则在的公共定义域上
为增（或减)
函数；
(3)若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
若且为减函数，则函数为减函数，为增函数.
(4)
若奇函数数，且有最小值
在
上是增函数，且有最大值，则在是增函
；若偶函数在是减函数，则在是增函数.
经典例题透析
类型一、函数的单调性的证明
1.证明函数上的单调性.
证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)， 令△x=x2-x1＞0
则
∵x1＞0，x2＞0，∴
∴上式＜0，∴△y=f(x2)-f(x1)＜0
∴
上递减.
总结升华：
[1]证明函数单调性要求使用定义； [2]如何比较两个量的大小？(作差)
[3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)
举一反三：
【变式1】用定义证明函数上是减函数.
思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 证明：设x1，x2是区间
上的任意实数，且x1＜x2，则
∵0＜x1＜x2≤1 ∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜1
∵0＜x1x2＜
1
故
∴x1＜x2时有f(x1)＞f(x2)
，即f(x1)-f(x2)＞0
上是减函数.
上是增函数；在今后的学习中经常
总结升华：可以用同样的方法证明此函数在
会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.
类型二、求函数的单调区间
2. 判断下列函数的单调区间；
(1)y=x2-3|x|+2； (2)
解：(1)由图象对称性，画出草图
∴f(x)在
增.
上递减，在上递减，在上递
(2)
∴图象为
∴f(x)在
举一反三：
【变式1】求下列函数的单调区间：
上递增.
(1)y=|x+1|； (2) (3).
解：(1)
∴函数的减区间为
画出函数图象，
，函数的增区间为(-1，+∞)；
(2)定义域为，
其中u=2x-1为增函数，在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，
则上为减函数；
(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为
(0，+∞).
总结升华：
[1]数形结合利用图象判断函数单调区间；
[2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.
[3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数.
类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)
3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与
的大小.
解：
又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则
4. 求下列函数值域：
.
(1)； 1)x∈[5，10]； 2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；
(2)y=x2-2x+3； 1)x∈[-1，1]； 2)x∈[-2，2]. 思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合.
解：(1)位得到，如图
2个单位，再上移2个单
1)f(x)在[5，10]上单增，；
2) (2)画出草图
；
1)y∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]； 2)
举一反三：
.
【变式1】已知函数.
(1)判断函数f(x)的单调区间；
(2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.
思路点拨：这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即
可得到我们相对熟悉的形式.域.
，第二问即是利用单调性求函数值
解：(1)
上单调递增，在上单调递增；
(2)故函数f(x)在[1，3]上单调递增
∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2
x=3时f(x)有最大值
∴x∈[1，3]时f(x)的值域为
.
5. 已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间
上是增函数，求：(1)实数a的取值
范围；(2)f(2)的取值范围.
解：(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知
只需；
(2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2，∴-2a≥-4 ∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7
.
类型四、判断函数的奇偶性
6. 判断下列函数的奇偶性：
(1) (2)
(3)f(x)=x2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)
(6) (7)
思路点拨：根据函数的奇偶性的定义进行判断. 解：(1)∵f(x)的定义域为 (2)∵x-1≥0，∴f(x)定义域
，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；
不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数；
(3)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数 ； (4)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；
(5)
，∴f(x)为奇函数；
(6)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；
(7)
举一反三：
【变式1】判断下列函数的奇偶性： (1)
，∴f(x)为奇函数.
； (2)f(x)=|x+1|-|x-1|； (3)f(x)=x2+x+1；
(4).
思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断. 解：(1)
；
(2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) ∴f(x)为奇函数； (3)f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1
∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x) ∴f(x)为非奇非偶函数；
(4)任取x＞0则-x＜0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x) 任取x＜0，则-x＞0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x) x=0时，f(0)=-f(0) ∴x∈R时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数.
举一反三： 【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.
证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则
F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x) G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x) ∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.
类型五、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)
7.已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).
解：法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10 ∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26 法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数 ∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8 ∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.
8. f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)=x2-x，求当x≥0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.
解：∵奇函数图象关于原点对称， ∴x＞0时，-y=(-x)2-(-x)
即y=-x2-x又f(0)=0，
，如图
9. 设定义在[-3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a-1)＜f(a)时，求a的取值范围.
解：∵f(a-1)＜f(a) ∴f(|a-1|)＜f(|a|) 而|a-1|，|a|∈[0，3]
.
类型六、综合问题
10.定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间的图象重合，
设a＞b＞0，给出下列不等式，其中成立的是_________. ①f(b)-f(-a)＞g(a)-g(-b)； ②f(b)-f(-a)＜g(a)-g(-b)； ③f(a)-f(-b)＞g(b)-g(-a)； ④f(a)-f(-b)＜g(b)-g(-a). 答案：①③.
(1)
11. 求下列函数的值域：
(2)
(3)
的图象与f(x)
思路点拨：(1)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(2)由单调性求值域，此题也可换元解决；(3)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t范围. 解：(1)
；
(2)
经观察知，
，
；
(3)
令
.
12. 已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1.
(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a的取值范围；
(2)当x∈[-1，1]时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象. 解：(1)∵f(x)=(x-a)2-1 ∴a≤0或a≥2
(2)1°当a＜-1时，如图1，g(a)=f(-1)=a2+2a
2°当-1≤a≤1时，如图2，g(a)=f(a)=-1
3°当a＞1时，如图3，g(a)=f(1)=a2-2a
，如图
13. 已知函数f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)≤3.
解：令x=2，y=2，∴f(2×2)=f(2)+f(2)=2 ∴f(4)=2
再令x=4，y=2，∴f(4×2)=f(4)+f(2)=2+1=3 ∴f(8)=3 ∴f(x)+f(x-2)≤3可转化为：f[x(x-2)]≤f(8)
.
14. 判断函数上的单调性，并证明.
证明：任取0＜x1＜x2，
∵0＜x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1·x2＞0 (1)当
时
0＜x1·x2＜1，∴x1·x2-1＜0 ∴f(x1)-f(x2)＞0即f(x1)＞f(x2)
(2)当x1，x2∈(1，+∞)时，
上是减函数.
上是增函数.
难点：x1·x2-1的符号的确定，如何分段.
15. 设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.
解：当a=0时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数； 当a≠0时，f(x)=x2+|x-a|+1，为非奇非偶函数.
(1)当x≥a时，
[1]
且
[2]
上单调递增，
上的最小值为f(a)=a2+1.
(2)当x＜a时，
[1]
上单调递减，
上的最小值为f(a)=a2+1
[2]上的最小值为
综上
：
.
学习成果测评 基础达标
一、选择题
1．下面说法正确的选项( )
A．函数的单调区间就是函数的定义域
B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间 C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称 D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象
2．在区间上为增函数的是( )
A． C．
B．
D．
3．已知函数
A.
B.
4．若偶函数
在
C.
D.
为偶函数，则的值是( )
上是增函数，则下列关系式中成立的是( )
A． B．
C．
5．如果奇函数上是( )
A．增函数且最小值是 C．减函数且最大值是
6．设
是定义在
在区间
D．
上是增函数且最大值为，那么在区间
B．增函数且最大值是 D．减函数且最小值是
上的一个函数，则函数，在上一定是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数.
7．下列函数中，在区间
上是增函数的是( )
A． B． C． D．
8．函数f(x)是定义在[-6，6]上的偶函数，且在[-6，0]上是减函数，则( )
A. f(3)+f(4)＞0 B. f(-3)-f(2)＜0 C. f(-2)+f(-5)＜0 D. f(4)-f(-1)＞0
二、填空题 1．设奇函数
的定义域为
，若当的解是____________.
时，
的图象
如右图，则不等式
2．函数
3．已知
4．若函
数____________.
5
．函数____________.
三、解答题
，则函数
的值域是____________.
的值域是____________.
是偶函数，
则的递减区间是
在R
上为奇函数，且
，则当
，
1．判断一次函数
2
．已知函数
(2)
在定义域上
反比例函数，二次函数的单调性.
的定义域为，且同时满足下列条件：
(1)是奇函数；
单调递减；(3)
3．利用函数的单调性求函数
4．已知函数
求的取值范围.
的值域；
.
① 当时，求函数的最大值和最小值；
在区间
上是单调函数.
② 求实数的取值范围，使
能力提升
一、选择题
1．下列判断正确的是( )
A．函数数
C．函数函数
2．若函数 A． C．
3．函数 A． C．
4．已知函数围是( ) A．
B．
是奇函数 B．函数是偶函
是非奇非偶函数 D．函数既是奇函数又是偶
在上是单调函数，则的取值范围是( )
B．
D．
的值域为( )
B． D．
在区间上是减函数，则实数的取值范
C． D．
5．下列四个命题：(1)函数增函数；(2)若 函
数
的递增区间
在时是增函数，也是增函数，所以是
与轴没有交点，
则
且；
(3)
