第六 二次型及其章准型标§61 .二次型其及阵矩表示 §6. 化二2次为型标型准§.36 定二次正型正定矩与阵
5§. 二次型其5次标形引准言 别下面判方程的几图何形什么？2是x2 3 xy y
2
1
01(
作旋)变转换~ xcs( o) x s n(i ~ y isn ( ) x cso ( ) ~ )y~ y , 6
入代(1)左，化边：为~ 22~5 ~ 21 ~2 yxx y 10 212 4 20
见下图
y~ yx
~
x
义 定有n个变量含x 1, x 2 , , n x二次齐的次数函f x1 , x 2, , x n
a ij xi x j i, 1
n
j(aji
ai j)
为称n(或维元)n的二次.型 于二次关的型论讨永约远定在数实围范进内行！
如：例f ( x, y) x 2 4 xy y5 2 22 f ( x , y , z) 2 x y x z y z都 是次型二 。f( x 1, x2 x 3 , x ,4 x1) x x2 2 x3 x 2 4 x f ( x,y) x y 5 22
f ( ,xy) x2 y 2 x 2 2
不二是次。型 2 22
只有含方项平的次二 型f k1 y1 k 2 y 2 kn yn 称为二型次的标准。形f x1 ,x 2 , x 3 x 1 4x2 4x 3 22 2为二型次标的准形
取 。 aj i aji2
则2 a ijx i x j ij x ia x ja ijx i jx
则()式1以表示可为 f a 11x 1 a 1 2 x 1 2 ax 1 nx1 nx a 2 1 x x2 1 a 22 2 x a 2nx x 2n2
an1 x nx 1 a n 2 x n x2 a nnx n x 1(a 11x 1 a 1 2x 2 1a nx n ) x 2 (a 1 x 12 a22 x 2 a n2 n )2x二次型用号表示和
,i j1 n
a ijx ixj
x n a(n1 x 1 an x 22 nanx )
n
a 1 1x 1 a12 x 2 a n 1xn a 2 1 1x 22a x 2 a 2 nx n (x ,1x , 2 x n, ) a1n 1x an 2 x 2 a nn xn a 1 1 a 21 ( x , x 12, , x n) an 1a 1 a 222 1a n 2a n a nn x 1 2x x
n an2
令
A a11 21a na1a1 2a 22
a2n
a1n a 2n an
n X
1 x x2 x n
则 Xf TAX 其中A 为 对称矩。阵二次的矩阵表示(型重点)注 1、对矩阵A称的写：法一A是方定。阵2、其角线上对的素元ai 恰好是i 2x i ,2, ,1n i的 数系 3。、 i xxj 的 数系的一分半给 aj i .可保 a 证ij a i j.
例：如次型二 ( f x ,1x , 2 3x) x1 3 3x 4 x1 x 2 x2x 3 22 1 ( x1 , x2 , x 3 )2 - 0-2 01 /2 0 1 x 1 2 x/2 -3 x 3
:注二型次对矩阵称f X A X
T义定2: 次二型把对矩阵 称A
称为二型次f 矩阵的也 把二型次f 称 为称矩对 A 的二次型阵对 称阵矩 A 秩的称二为次 型f的 秩
例1
写下出面次型 二f 的矩表示，阵求 并f 秩r(的)f。 1 (fx 1 ,x 2 x 3 ), x[1, x2 ,x 3] 4 7 2 5 8 3 1 x T 6 x 2 x B 9 x x3 解
f x 1 5 2 x 9 x 3 6 x1 x 2 0 1x 1 x3 1 x 2 x 3
422
3
1 [ x 1 x ,2, x 3 3] 5 r( f ) r ( A )
2 5 3
75 x1 T 7 2 x xxA 9 x3 问 :在二次 型f x TxA中 如不限,制A 对称 A,唯一?吗
定义 只含平方项二的次型 kf1 1 x k2 x 2 k n nx2 22 k1 [ 1x, ,x ] n
x 1 k n xn
称为二型的标次准形(或式)。法平项系数只方在1 , 1 , 0取中的值标形准 fx 1 xp px1 rx2 2 22
为二次称型规范的形 。注(:里这规形范要求系数1为的项排前面在，其次系排为数1的-。与书上项略有同不)
。目的
:对给的定二次型 fx 1 x ,2 ,, n x ai jx ix ji, j 1
n1 (
找可逆)线的性换(坐标变变)换： x 1 c 11 y1 c 1 y2 2 c 1 n ny x2 c12 y 1 c 22 y 2 c 2 n y n( 中 其C ( ic )j 逆 可 ) x n cn 1 y 1 c n y22 c n n yn
入(1代式),使之成为准形标f 2 k1 y 1
2 k y22
2 n ky
称n上过程面化为二型次标准形为
第。章 二次六型其及准标型6§1 .次型及其矩二阵表 §示62.化 次二型为标型
§准6. 3定正次型与正二矩定
阵一
、退化线性变换(可逆非线变换)性 设若
简记
C当是 逆可阵时矩 称
,为逆线性变可换
对。二于型次我，们论讨主要的问是： 寻题可逆求线性变换，的二次型只使含平方项。即二次 f型 XAX Ti ,j 1
n
ai j xi x j经过逆可性变线换X C 使Y 得f k 11 y k2 y 2 n yk2 n2 2即经可过线逆变换X性 C Y 可为 化 f X TAX ( CY) TA ( YC) YT ( C AT C)Y令B C CA, B di ag( 1k k, ,2 k, )Tn矩阵的
同合： 两 n 个阶阵 方A、 B , 若存在可矩阵逆使得 B C C A,则称 A同合于 B.
TC
记,作 A B 定 理A设对为称矩阵，A与B合同，且(1 )则( ) B 2 AC 仍是对称矩阵CT
(Br) r ()T
证明A
(1)
(BC AC )C A( C) C AC T B T T TTT T
(2 )B C A TC因 为 C可
逆所以r ( B ) r A )(注合：同然仍一种是等价关系 矩阵合的性质：(1)同反身性 ( 2 )对称 性(3 )递性
