有限群中元素的阶的性质与子群的阶的联系 王琴琳（2005020034）
[摘 要] 根据有限群中元素的阶的性质讨论其元素生成的子群的阶。 [关键词] 群 子群 元素 阶
设a为群G的一个元素，e 是G的单位元，使an?e成立的最小正整数n称为元素a的阶。记为a?n。如果这样的正整数不存在，则称a的阶为无限的，记为a??
设G是一个（乘法）群而G中有一个元素G，使G中每一个元素都是a 的乘方，即
G??amm?Z?，那么称G为循环群，a 叫做G的生成元，习惯上记为G??a?，也就是说，
G使有生成元a 生成的。
性质1 设ar是n阶循环群G??a?中任一元，若d?(n,r)，那么a?rn。 d证明 因为d是n与r的最大公因数，所以dn且dr0并且有n?dq1，r?dq2， 则q1?nr，q2? 并且可知(q1,q2)?1， ddnndr)?(dq首先看 (ada2n?)?q2ann(qa2?)eq2?e，若设ar?k，所以 k （*）
d其次，(a)nrrk?(ar)k?e，又因为
k， a?n，所以 nrk,ddnrn,)?1，所以?k （**） ddknrn由（*）和（**）知，k? 即a?。 dd因(性质2 （a）为n阶循环群，n的任一个正因子k，（a）都有一个k阶子群(a)。 证明 设a?n，kn且n?kq，即(n,q)?q,由性质1可知, ankq?k
q所以，以(a)为生成元的循环群是循环群(a)的一个k阶子群。
Lagrange定理 设H?G，如果G?N,H?n，且有?G:H??j，那么N?nj。 证明 因?G:H??j，这表明H在G中的右陪集只有j个，从而有G的右陪集分解
G?Ha1?Ha2?Ha3??Haj （其中Ha1?H）
则Ha1?Ha2?Ha3???Haj?n ；所以G?Ha1j 即N?nj。
由性质2我们能够得到以下的推论。
推论1 有限群G的任一元素的阶都是群G的阶数的正因子。
证明 设有限群G的阶为m，G中的元素a的阶为n，则由性质2得 ，a生成一个阶是n的子群，由Lagrange定理 得，nm。
定理1 [2] 如果群G的阶能被素数p整除，则G包含着p阶的元素。
证明 设n?mp（p是素数）是G的阶，这时，如果m?1，则G是p阶循环群， 因而定理成立；我们对m施行归纳法，如果G包含一个真子群H，它的指数?G:H?不能被p整除，则H的阶能被p整除，因而根据归纳假设，H包含p阶的元素，现在假定G的每个真子群的指数都能被p整除，那么根据?1.6[2]，n?n1?n2???ns，这里每个ni都是G的共轭元素类的元素数。每个ni?1是G的一个真子群的指数，因而根据假设n都能p整除，这时
ni?1，因为单位元素自成一类，因此ni?1的个数是p的陪数，在G内一个元素ai自成一类，
必要而且只要它属于G的中心Z，因此Z的阶能被p整除，于是对于z?Z和g?G，我们有
zg?gz，因此当然更有Z的元素彼此都可交换，即Z是阿贝尔群，现在从定理3.31[2]的推论
得出，Z包含p阶的元素。综合得，G包含着p阶的元素。
定理2
[2]
m 如果G的阶是n?ps，这里p是素数，p?s，则G包含着阶为
pi(i?1,2,?,m?1)的每个子群至少是一个pi?1阶子群的正规子群。
i证明 对i旋行归纳法来证，由定理1，可以证得，G中包含p阶子群，设p是p(i?1)阶子群，用p的二重傍系表出G，G?p?pxp???pxp而没在pxp内有p的aj个右
j2r?1?1傍系，那么aj?[xjpxj:xjpxjnp]而且对于二重傍系p?1?p?p，a1?1，又aj?1或p?1的方幂。因为p[G:P]，所以等于1的aj数必须是p的倍数。如果aj?1，则xjpxj?p，?1因而xj以及傍系pxj?xjp必须属于p的正规化子k；反之，如果xj?k，则xjpxj?p，
因而aj?1，因此，[k:p]是等于1的aj数，所以p[k:P]，因此商群kp的阶[k:p]能被p*整除，于是kp包含一个p阶的子群J*，根据定理2.3.4，J?JP。这里
j?k,而且?j:?p??*J:?1?????pJ是包含p作为正规子群的pi?1阶子群。 ，因而
由定理1和定理2我们可以得到以下的结论：
结论 有限群G的阶为n，则群G有一元素的阶为m（m为素数）的充分必要条件是群G中有一个m阶的子群。
证明 （必要性） 设a?G且a?m，由推论1可以知道?k?Z使得n?mk即n被m整除，且m是素数，由定理2可知群G中有一个m阶的子群。
（充分性） 设群H为有限群G的一个子群且H?m，有j?Z使得?G:H??j由Lagrange定理有n?mj，又因为m为素数，所以由定理1我们可以知道群G中包含着m阶的元素。
根据以上结论我可以很快的判断有限群中是否有子群和某些子群的阶。便于说明群中元素的阶。
[参 考 文 献]
[1] 徐德余 唐再良 钟纯真 何聪 李玲 ，《近世代数》，四川大学出版社，2006 [2] M赫尔 ，《群论》，科学出版社，1981
