相似三角形中的辅助线（学生版）
在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种： 一、作平行线 例1. 如图，?的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延ABCBFBD长线与BC延长线相交于F，求证： ?CFCEB D A C F E
例2. 如图，△ABC中，AB
二、作垂线
3. 如图从 ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证：AB?AE?AD?AF?AC2。
FDCABE 三、作延长线
例5. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积。
例6. 如图，Rt?ABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FG?AB于G，求证：FG2=CF?BF
四、作中线 例7 如图，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，?ABC中，求AC。
五、综合练习题
1、在△ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD，DE交AB于F。
求证：EF×BC=AC×DF
2、?ABC中，?ACB?90?，AC=BC，P是AB上一点，Q是PC上一点（不是中点），MN过Q且MN⊥CP，交AC、BC于M、N，求证：PA:PB?CM:CN。
3、. 如图，?ABC中，AB?AC，BD?AC，那么BC2?2CA?CD吗？试说明理由？（用三种解法）
全等辅助线作法
一、全等三角形定义：
1、经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形； 2、形状一样、大小一样的两个三角形称为全等三角形。 二、全等三角形的基本图形：
三、全等三角形性质：
1、全等三角形的对应角相等、对应边相等；
2、全等三角形的对应边上的高、中线、角平分线对应相等； 3、全等三角形周长、面积相等。 四、两点注意事项：
1、使用判定定理时，是否为夹边，夹角要看清，没有边边角（SSA）这个判定定理。 2、书写三角形、线段和角的名称的时候注意对应点应在对应的位置上。 五、常见辅助线写法：
1、过点A作BC的平行线AF交ED于F； 2、过点A作BC的垂线，垂足为D； 3、延长AB至C，使BC=AC； 4、在AB上截取AC，使AC=DE; 5、作?ABC的平分线，交AC于D； 6、取AB中点C，连接CD交EF于G点
第二部分：全等辅助线秘籍一：平移变换
秘籍一：平移变换：
例1：如图，AB=CD=1，?AOC?60? 求证：AC?BD?1
总结：几何里证明不等式常用的方法：1、三角形三边关系；2、两点之间线段最短；3、直角三角形中，斜边大于直角边。
例2、如图，已知?ABC（1）请你在BC边上分别取两点D、E（BC的中点除外），连接AD、AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明：AB+AC>AD+AE
例3、已知:线段OA、OB、OC、OD、OE、OF，?AOB??BOC??COD??DOE??EOF =60?,且AD=BE=CF=2.
求证：S?OAB?S?OCD?S?OEF?3
例4、如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，如果?1??2，那么?3??4。仔细阅读以上材料，完成下面的问题。(4点共圆）
问题：如图，设P为平行四边形ABCD内一点，?PAB??PCB,求证：?PBA??PDA
总结：
（1）集散思想：有些几何题，条件与结论比较分散，通过添加适当的辅助线，将图形中分散的元素聚集到有关的图形上，使它们相对集中，便于比较，建立关系，从而找出问题的解决途径；
（2）平移只能用来作为作辅助线的思路，具体做辅助线的时候不能直接说将
?ABC平移至?DEF.
全等辅助线秘籍二：旋转
例1：如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且?EAF?45?，AH?EF，H为垂足，求证：AH=AB.
例2：在?ABC中，?ACD?90?，AC=BC，P是?ABC内的一点，且AP=3，CP=2，BP=1. 求?BPC度数。
例3:已知在?ABC中，AB=AC，P为形内一点，且?APB??APC，求证：PB
