8-3 推证渐开线齿轮法向齿距pn、基圆齿距pb和分度圆齿距p之间的关系为式为
pn?pb?pcos???mcos?。
证明：根据渐开线的性质：即渐开线的发生线沿基圆滚过的长度，等于基圆上被滚过的圆弧长度有pn?pb
设齿轮的齿数为z，模数为m，基圆半径为rb，分度圆半径为r，压力角为?
因为 zpb?2?rb，zp?2?r 又因为 rb?rcos? 所以 pb?pcos? 因为 p??m
所以 pn?pb?pcos???mcos? 证毕。
ppbpn?rbrraO解题8-3图
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8-4 用范成法加工渐开线直齿圆柱齿轮，刀具为标准齿条型刀具，其基本参数为：
m?2mm，??20?，正常齿制。
122.5rads（1） 齿坯的角速度??时，欲切制齿数z?90的标准齿轮，确定齿坯
中心与刀具分度线之间的距离a和刀具移动的线速度v； （2） 在保持上面的a和v不变的情况下，将齿坯的角速度改为??123rads。这样所
切制出来的齿轮的齿数z和变位系数x各是多少？齿轮是正变位齿轮还是负变位齿轮？
（3） 同样，保持a和v不变的情况下，将齿坯的角速度改为??122.1rads，所切制
出来的齿轮的齿数z和变位系数x各是多少？最后加工的结果如何？ 解：（1）、由于是加工标准齿轮，齿坯中心与刀具分度线之间的距离为
a?mz2?2?902?90mm
刀具移动的线速度为
v?mz2???2?902?122.5?4mms
（2）、齿轮的齿数z为
z?2vm??2?42?123?92
变位系数x为
a?x?mz2?90?2?9222??1
m因为变位系数小于零，所以齿轮是负变位齿轮。 （3）、齿轮的齿数z为
z?2vm??2?42?122.1?88.4
变位系数x为
a?x?mz2?90?2?88.422?0.8
m因为变位系数为正，所以齿轮是正变位齿轮。但由于齿数不是整数，最后加工的结
果将产生乱齿现象，得不到一个完整的齿轮。
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8-5 一个渐开线标准正常直齿圆柱齿轮，齿轮的齿数Z=17，压力角??20?，模数m=3㎜。试求在齿轮分度圆和齿顶圆上齿廓的曲率半径和压力角。
解：如题34图所示，由已知条件得
r?mz2?3?172?25.5mm
rb?rcos??25.5cos20??23.96mm ra?r?ham?25.5?1?3?28.5mm
*?a?其中，h确定的。
*a?1是由齿轮为正常齿制齿轮
??arbrra根据渐开线的几何尺寸关系，可以得到在齿轮分度圆上齿廓的压力角和曲率半径分别为
??arccosrbr?arccos23.9625.5?20?
??rbtan??23.96tan20??8.72mm
在齿轮齿顶圆上齿廓的压力角和曲率半径分别为
O解题8-5图
?a?arccosrbra?arccos23.9628.5?32.79?
?a?rbtan?a?23.96tan32.79??15.44mm
8-6 推证渐开线齿轮不根切的最小变位系数xmin由式x?xmin?ha(zmin?z)zmin*确定。解释当
z?zmin时，xmin的物理含义。
证明：当被加工的齿轮的齿数z?zmin时，为了防止根切，刀具的齿顶线应移至点N1或点N1以下，如图所示，应使
N1Q?ham?xm
*即xm?ham?N1Q
Q*又因N1Q?PN1sin?
题8-6图
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而PN1?rsin??故N1Q?mz22mz2sin?
sin? z2sin?
2*所以x?ha?又因为zmin?z22ha2*sin?2，即sin??*22hazmin**，代入上式，得
x?h?*asin??h?*az2ha2zmin?ha(zmin?z)zmin
当z?zmin时，xmin的物理意义是指加工刀具可以向齿坯转动中心移动、而齿轮不
发生根切现象的最大变位系数。
8-7 用一个标准齿条形刀具加工齿轮。齿条的模数m*高系数ha?4mm，齿形角??200，齿顶
?1，顶隙系数c*?0.25，齿轮的转动中心到刀具分度线之间的距离为
H?29mm，并且被加工齿轮没有发生根切现象。试确定被加工齿轮的基本参数。
?mz2解：由于H一般与被加工齿轮的分度圆半径的大小相近，所以有H得 z?2Hm?2?294?14.5
，由此可
由于齿数数已经小于标准齿轮不根切的最小齿数17，所以只可能是正变位齿轮。如果将齿轮的齿数圆整为z定会发生根切现象。
将齿数圆整至整数z?14，则由
H?mz2?xm
?15，则H?15?42?30mm，为负变位齿轮，则齿轮一
H?mz2?29?4?1424?0.25
可得 x?m此时齿轮不根切的最小变位系数为
xmin?ha(zmin?z)zmin*?1?(17?14)17?0.176
故变位系数x?0.25?0.176满足齿轮不根切条件。
所以被加工齿轮为正变位齿轮，齿数为14，变位系数为0.25。
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分度圆半径为r?mz2?4?142?28mm
基圆半径为rb?rcos??28cos20??26.31mm
*齿顶圆半径为ra?r?(ha?x)m?28?(1?0.25)?4?33mm
齿根圆半径为rf?r?(ha?c*?x)m?28?(1?0.25?0.25)?4?24mm
例8-1 在下列情况下确定外啮合直齿圆柱齿轮传动的类型： （1）z1?14,z2?40,?**?15?,ha*?1,c*?0.25。
解：由式zmin?2ha2sin?可得zmin?30，由于 z1?z2?2zmin，这对齿轮传动
只能采用正传动。变位系数的选择应满足x1?x1min,x2?x2min。 （2）z1?33,z2?47,m?6mm,??*20?,ha?1,.a'?235mm
解：因为a?m(z1?z2)2?240mm?a'?235mm
所以，必须采用负传动。齿轮的变位系数由无齿侧间隙方程确定：
?'?arccos(?acos?a')?16.32?x1?x2z1?z22tan?
(inv16.32??inv20?)??0.763至于x1和x2各取什么值，还应根据其他条件确定。 （3）z1?12,z2?28,m?5mm,??*20?,ha?1,要求无根切现象。
解：由已确定的参数可知，不根切的最少齿数为17，根据各种传动类型的齿数条件可知：可以采用的齿轮传动类型是等变位齿轮传动、正传动和负传动。 （4）a'?138mm,m?4mm,??*20?,ha?1,i12?53.传动比误差不超过
?1%
解：z1?2a'm(1?i12)?25.875
若取z1?25, z2?42
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