yB?yC?xB?xC? (a)?yF?yC ?xF?xC222?(x?x)?(y?y)?l (b)CBCBC?B点B的速度方程为：
??(yF?yC)vBx?(xF?xC)vBy?(yF?yB)vCx?(xF?xB)vCy????(yB?yC)vFx?(xB?xC)vFy (a) ??(x?x)v?(y?y)v?(x?x)v?(y?y)v (b)BCBxBCByBCCxBCCy??点B的加速度方程为：
??(yF?yC)aBx?(xF?xC)aBy?(yF?yB)aCx?(xF?xB)aCy???(yB?yC)aFx?(xB?xC)aFy-2(vBxvFy-vBxvCy-vCxvFy-vByvFx?? ??vByvCx?vCyvFx) (a)??(x?x)a?(y?y)a?(x?x)a?(y?y)aBCBxBCByBCCxBCCy??22-(v-v)-(v-v) (b)BxCxByCy??至此已经可以看出：运动分析的关键是位置方程的建立，速度和加速度方程可以分别将位置方程对时间求一阶和二阶导数得到。
在求出了以上各点的运动以后，机构中的每一个从动构件都有了两个运动已知的点，因此，各个从动构件的运动都可以确定出来了。例如，构件3的质心点S3 的位置方程
?(xs3?xC)2?(ys3?2?(xs3?xB)?(ys3??yC)2yB)2??ls23Cls23B
构件3的角位置、角速度和角加速度分别为
tan?3?yBxB?yC?xC
?3??3??B?y?C)?(yB?yC)(x?B?x?C)(xB?xC)(ylBC?B???C)?(yB?yC)(??B???C)(xB?xC)(?yyxxlBC22
除了确定各个构件的运动，还可以确定构件与构件之间的相对运动。例如，要确定构件4与构件5的相对运动，由图6-14可知，构件4与构件5形成移动副，因此，两者之间的
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相对运动为移动，可以选构件4上的点B和构件5上的点A，以这两个点之间的距离变化表示构件4与构件5之间的相对运动，则相对运动的位置方程为
H2AB?(xA?xB)2?(yA?yB)2
相对运动的速度和加速度分别可由上式对时间的一阶和二阶导数求出。 （二）、以构件AB为原动件时
此时，点A、B之间距离H、vAB和aAB为已知的。构件5为液压驱动的油缸，构件
AB4为活塞。机构可以拆出构件1、2、3、4组成的Ⅲ级杆组，机构为Ⅲ级机构。
机构中铰链点B、C和构件2上的点F都不能分别求解，只能利用AB、BC、DC、EF之间的距离为已知的长度、点B、F、C共线和直线BF、EF垂直的运动约束，建立出三个待求点B、E、F的位置方程组，联立求解，即
f1f2f3f4f5f6??????(xB(xBxC2?xA)2?(yB?xC)2?(yB?yC22?lCD2????yA)2?H2AB??002yC)2?lBC0yE)2
?l2EF(xF(xC(xF?xE)?(yF??0??yF)?yE)?00?xF)(yC?xB)(xFyB)?(xC?xB)(yC?yB)(yF?xE)?(yF在上述方程中未知数的个数与方程数相等，在机构的可动范围内方程组有确定的解，方程组是非线性的代数方程，可采用牛顿迭代法等方法进行求解。
机构的速度和加速度方程仍然是由位置方程的一阶和二阶导数求得，与Ⅱ级机构相同，机构的速度和加速度方程均为线性方程组。
6-9 在题6-9图所示机构中，已知机构中各构件的杆长和固定铰链点A、D、F的位置、原动件的运动。试在以下两种情况下写出确定机构中所有从动构件运动的相应位置方程。 （1）以构件1为原动件； （2）以构件5为原动件。
解：首先建立直角坐标系如图所示。固定铰链点Ａ、Ｄ、Ｆ的坐标分别为A(0,0)、
D(xD,yD)、F(xF,yF)。
（1）、当以构件1为原动件时，该机构为Ⅱ级机构，可以逐点求解。先求点Ｂ的运
动。点Ｂ在构件１上，所以点Ｂ的位置方程为
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?xB?lABcos?1 ?y?lsin?AB1?ByGx题6-9图
点Ｃ到点Ｂ的距离保持不变，点Ｃ到点Ｄ的距离保持不变，根据这两个条件，可建
立Ｃ点的位置方程为
2?(xB?xC)2?(yB?yC)2?lBC ?222(x?x)?(y?y)?lCDCCD?D点Ｅ到点Ｂ的距离保持不变，点Ｅ到点Ｃ的距离保持不变，根据这两个条件，可建
立Ｃ点的位置方程为
2?(xB?xE)2?(yB?yE)2?lBE ?222?(xC?xE)?(yC?yE)?lCE在求出了以上各点的运动以后，机构中的每一个从动构件都有了两个运动已知的点，
因此，各个从动构件的位置都可以确定出来了。
欲求构件5的运动，需要在构件5上确定一个特殊点G，如图所示。点G的位置方
程为：
?(xF?xG)2?(yF?yG)2??yG?yFx?xE???G?xG?xFyG?yE?2lFG
（2）、当以构件５为原动件时，该机构为Ⅲ级机构，不能逐点求解，而只能联立求
解。先确定点Ｇ的运动，其位置方程为
?xG?xF?lFGcos?5 ??yG?yF?lFGsin?5利用AB、BC、CD、BE、CE之间的距离保持不变，且为已知的长度，直线FG和
EG垂直的运动约束，建立三个待求点B、C、E的位置方程，即
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222?(xA?xB)?(yA?yB)?lAB?222(x?x)?(y?y)?lBCBCBC?222?(xC?xD)?(yC?yD)?lCD? ?222(xB?xE)?(yB?yE)?lBE?222?(xC?xE)?(yC?yE)?lCE???(xG?xF)(xG?xE)?(yG?yF)(yG?yE)?0六个方程需要联立求解。
例6-4 对图6-16a所示的平面二杆机械手进行逆运动学分析。
a b 图6-16 平面二杆机械手及其逆运动学分析 解：首先，考虑二杆机械手的工作空间，在此机构中运动输出为点P，所以，其工作空间就是点P可以到达的区域。
假设转动副A、B都是周转副，如果l1?l2，则点P可以到达的区域为以点A为圆心、半径为2l1的圆；如果l1?l2，则点P的可到达区域为以点A为圆心、外径为l1?l2、内径为l1?l2的圆环。如果转动副A、B不全是周转副，则点P的可到达区域显然要减小。
由题21图b可知，对于点P的位置(x,y)逆解有两个，分别用实线和虚线表示。 为了得到封闭解，将点A与点(x,y)连接起来，
r?x?yx22??arctany
根据余弦定理可得
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??arccosl1?l2?r2l1l2222， ??arccosr?l1?l22rl1222
则 ?2????， ?1????
式中，取“-”对应图6-16b中的实线所示的解，取“+”对应虚线所示的解。
例6-6 设计一个铰链四杆机构ABCD，实现连杆的三个精确位置P1Q1,，P2Q2，P3Q3。
解：在铰链四杆机构中，动铰链点B、C既是连杆上的点，同时，又是连架杆上的点，其轨迹为分别以固定铰点A和D为圆心，相应连架杆杆长为半径的圆弧，故称点B和C为圆点，而点A和D为圆心点。据此，可以得出机构的设计作图方法如下：
将给出的表示连杆精确位置的直线PQ扩大成一个平面封闭区域。在区域中任意取两个点作为圆点B、C，并由给定的连杆精确位置确定出B1、B2、B3和C1、C2、C3，如图6-18所示。
图6-18 实现连杆三个位置的铰链四杆机构设计 作B1B2连线的中垂线
a12，再作B2B3连线的中垂a23，则a12和a13的交点即为圆心点A的位置。
同样，作C1C2连线的中垂线d12和C2C3连线的中垂线d23，d12和d23的交点即为圆心点D的位置。
连接AB1C1D，就得到了所要设计的机构。机构的两个连架杆分别是AB、CD，连杆是BC，各个构件的杆长为直接从图中量出的长度乘以作图比例。
值得注意的是，在确定铰链点B、A的位置时没有考虑铰链点C、D，同样，在确定铰
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