现以常见的t0＞ t中情况进行分析。如图5-5所示，轨温由t0下降到Tmin时，温度力图为ABCDD'(由于温度力图左右对称，图中仅画出了左侧部分)。当轨温开始回升时，温度力的变化情况如下。
1．当Tmin－t≤ΔtH时，这时轨温回升，钢轨想伸厂，首先仍然遇到接头阻力的抵抗，钢轨全长范围内温度拉力减小，温度力图平行下移PH值，接头处的温度拉力变为零。温度力分布如图中AEE'。
2．当ΔtH≤Tmin－t≤2ΔtH时，这时接头阻力反向起作用，温度力图继续平行下移PH值，此时接头处承受温度压力，固定区仍为温度拉力，如图中FGG'所示。
3．当Tmin－t≥2ΔtH时，正、反接头阻力已被完全克服完，钢轨要开始伸长，这时道床纵向阻力起作用，使得部分长度上温度力梯度反向，在伸缩区温度压力以斜率r而增加，如图中FT所示。
4．当t=Tmin时，固定区温度压力达到maxPt后。这时由于Δt拉max＞Δt压max，固定区温度力平行下移到HH'，则HN与FT的交点，出现了温度压力峰P峰，其值大于固定区的温度压力。温度压力峰等于固定区最大温度拉力与最大温度压力的平均值，即 (5-10) 上式说明，温度压力峰的大小与锁定轨温无关。
上式说明，温度压力峰的位置相当于中间轨温锁定时的伸缩区终点。 在取锁定轨温等于或小于中间轨温时，则不会在伸缩区出现温度压力峰。 (四)轨端伸缩量的计算
从温度力图中可知，无缝线路长轨条中部承受大小相等的温度力，钢轨不能伸缩，称为固定区。在两端，温度力是变化的，在克服道床纵向阻力阶段，钢轨有少量的伸缩，称为伸缩区。伸缩区两端的调节轨称为缓冲区。在设计中要对缓冲区的轨缝进行计算，因此需对长轨及标准轨端的伸缩量进行计算。 1． 长轨一端的伸缩量
由温度力图5-6可见，其中阴影部分为克服道床纵向阻力阶段释放的温度力，从而实现了钢轨伸缩。由材料力学可知，轨端伸缩量λ长与阴影线部分面积的关系为： (5-12)
图5-6 长轨条轨端伸缩量计算图 图5-7 标准轨轨端伸缩量计算图 2．标准轨一端的缩量
标准轨轨端伸缩量λ短计算方法与λ长基本相同。标准轨的温度力图如图5-7所示。由于标准轨现长度短，随着轨温的变化，在克服完接头阻力后，在克服道床纵向阻力时，由于轨枕根数有限，很快被全部克服，以后，钢轨可以自由伸缩，温度力得到释放。在标准轨内最大的温度力只有PH+r?l/2 (l为标准轨长度)。标准轨一端温度力；释放的面积为阴影线部分BCGH。同理，可得到轨端伸缩量λ短计算公式： (5-13) 式中 maxPt为从锁定轨温到最低或最高轨温时所产生的温度力。
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第三节 无缝线路稳定性分析 稳定性概念
无缝线路作为一种新型轨道结构，其最大特点是在夏季高温季节在钢轨内部存在巨大的温度压力，容易引起轨道横向变形。在列车动力或人工作业等干扰下，轨道弯曲变形有时会突然增大，这一现象常称为胀轨跑道，在理论上称为丧失稳定。这将严重危及行车安全。
从大量的室内模型轨道和现场实际轨道的稳定试验以及现场事故观察分析，轨道胀轨跑道的发展过程基本上可分为三个阶段，即持稳阶段、胀轨阶段和跑道阶段，如图5-8所示。图中纵坐标为钢轨温度压力，横坐标为轨道弯曲变形矢度f0+f，f0为初始弯曲矢度。胀轨跑道总是从轨道的薄弱地段（即具有原始弯曲的不平顺）开始。在持稳阶段（AB），轨温升高，温度压力增大，但轨道不变形。胀轨阶段（BK），随着轨温的增加，温度压力也随之增加，此时轨道开始出现微小变形，此后，温度压力的增加与横向变形之间呈非线性关系。当温度压力达到临界值时，这时轨温稍有升高或稍有外部干扰时，轨道将会突然发生臌曲，道碴抛出，轨枕裂损，钢轨发生较大变形，轨道受到严重破坏，此为跑道阶段（KC），至此稳定性完全丧失。
图5—8 无缝线路胀轨跑道过程
无缝线路稳定性计算的主要目的是研究轨道胀轨跑道的发生规律，分析其产生的力学条件及主要影响因素的作用，计算出保证线路稳定的
允许温度压力。因此，稳定性分析对无缝线路的设计，铺设及养护维修具有重要的理论和实践意义。 判别结构稳定的准则一般有能量法和静力平衡法。无缝线路的稳定分析大多采用能量法，弹性理论的能量变分原理是理论基础。在稳定性计算中采用的势能驻值原理概念为：结构处于平衡状态的充要条件是在虚位移过程中，总势能取驻值，即δA=0。根据势能驻值原理及边界条件等即可求地轨道平衡的微分方程。 微分方程的解法，有精确解与近似解之分。前者是按边界条件直接解平衡微分方程，解题较麻烦，与近似方法相比差别并不大，故运用较少；现使用较多的是后者，即假设变形曲线的方法，也称能量法。 国内外对稳定性计算公式进行了长期深入的研究，提出了很多计算公式。比较有影响的公式如，米辛柯公式、沼田公式、科尔公式等。我国在1977年提出了\统一无缝线路稳定性计算公式\（简称统一公式），并得到推广应用，对促进我国无缝线路的发展起了重要作用。统一公式是假定变形曲线波长与初始波长相等，并取变形为2mm是对应的温度压力Pn，再除以安全系数，即为保证无缝线路稳定的原许温度压力[P]，如图5-8所示。
1990年5月1日开始实施的《无缝线路铺设及养护维修方法》中，铺设无缝线路的允许温差表是该标准的核心内容之一，其稳定性计算是采用铁道科学研究院提出的变形波长与初始弯曲波长不相等的计算公式（简称不等波长公式）。现行允许温差表是该理论分析与实践相结合的产物，已得到现场广泛运用。 下面几节主要介绍不等波长稳定性计算公式。读者在使用统一公式时可以参阅有关书籍。
影响无缝线路稳定性的因素
对无缝线路大量调查后表明，很多次的胀轨跑道事故并非温度压力过大所致，而是由于对无缝线路起稳定作用的因素认识不足，在养护维修中破坏了这些因素而发生的。因此，我们必须研究丧失稳定与保持稳定两方面的因素，注意发展有利因素，克服、限制不利因素，防止胀轨跑道事故，以充分发挥无缝线路的优越性。
(一)保持稳定的因素
1.道床横向阻力 图5—9 道床横向阻力与 位移关系曲线
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道床抵抗轨道框架横向位移的阻力称道床横向阻力，它是防止无缝线路胀轨跑道，保证线路稳定的主要因素。前苏联资料表明，稳定轨道框架的力，65%是由道床提供的，而钢轨为25%，扣件为10%。 道床横向阻力是由轨枕两侧及底部与道碴接触面之间的摩阻力，和枕端的碴肩阻止横移的抗力组成。其中，道床肩部占30%，轨枕两侧占20%~ 30%，轨枕底部占50%。道床横向阻力可用单根轨枕的横向阻力Q和道床单位横向阻力q表示。q=Q/a（N/cm），a为轨枕间距。
图5-9为实测得到的道床横向阻力与轨枕位移的关系曲线。由图可见：随着轨枕重量的增加，横向阻力增大；横向阻力与轨枕横向位移成非线性关系，阻力随位移的增加而增加，当位移达到一定值时，阻力接近常量，位移继续增大，道床即破坏。
阻力与位移的关系，通过实测得到下面的表达式： (5-14)
式中 q0 ——初始道床横向阻力（N/cm）； y ——轨枕横向位移（cm）；
B、C、Z、N——阻力系数。见表5-5。
对无缝线路丧失稳定情况的大量调查中得知，在不少情况下胀轨跑道并非温度力过大所致，而是由于维修作业不当，降低了道床横向阻力而发生。因此要对影响横向阻力的因素有所了解，以利于指导工作。
影响道床横向阻力的因素很多，下面主要从道床的材料，肩宽以及维修作业等方面进行分析。 (1)道床
图5—10 枕端道床破裂面示意图
道床是由道碴堆积而成，道床的饱满程度和道碴的材质及粒径尺寸对道床横向阻力都有影响。饱满的道床可以提高道床的横向阻力。道碴的材质不同，提供的阻力也不一样。据国外资料，砂砾石道床比碎石道床阻力低30%~40%。道床粒径较大提供的横向阻力也较大，例如粒径由25~65mm减小到15~30mm，横向阻力将降低20~40%。 (2)道床肩部
适当的道床肩宽可以提供一定的横向阻力，但并不等于肩宽愈大，横向阻力总会增大。轨枕端部的横向阻力是轨枕横移挤动碴肩道碴棱体时的阻力。由图5-10中可以看到，轨枕挤动道床，最终形成破裂面BC，且与轨枕端面的夹角为45°+θ/2。滑动体的重量决定了横向阻力的大小，即在滑动体之外的道床对枕端横向阻力不起作用。滑动体的宽度b可用下式计算： 式中 H--轨枕端埋入道床的深度； --摩擦角，一般 =35°～50°。
对于混凝土枕，若取H = 228mm， = 38°，则有：
在道床肩部堆高石碴，加大了滑动体的重量，这无疑是提高道床横向阻力最经济有效的方法。道床肩部堆高形式如图5-11。道床横向阻力的提高，肩部堆高比肩部加宽效果更明显，且节约道碴。
图5—11 道床肩部堆高示意图
（3）线路维修作业的影响
维修作业中，凡挠动道床，如起道捣固、清筛等改变道碴间或道碴与轨枕间的接触状态，都会导致道床阻力的下降。表5-6为轨枕位移2 mm时，各种作业前后的阻力值及下降的百分数。
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应当指出，在列车的动荷载作用下，每根轨枕所提供的横向阻力是不同的。这是因为轨道框架在轮载作用点下产生挠曲，而在距车辆x= 至x= 长度范围内会出现负挠曲，使两转向架之间的轨道框架最大抬高量可达0.1~0.3 mm，从而大大削弱这一范围内轨枕所能提供的横向阻力 2． 轨道框架刚度
轨道框架刚度是反映其自身抵抗弯曲能力的参数。轨道框架刚度愈大，弯曲变形愈小，所以是保持轨道稳定的因素。轨道框架刚度，在水平面内，等于两股钢轨的水平刚度及钢轨与轨枕接点间的阻矩之和。
（1）两股钢轨的水平刚度（即横向刚度）EI=2EIy （2）
图5-12 弹条Ⅰ型扣件阻矩实测值 （Iy为一根钢轨对竖直轴的惯性矩）。
（2）扣件阻矩与轨枕类型、扣件类型、扣压力及钢轨相对于轨枕的转角有关。阻矩M可以表示为钢轨相对轨枕转角β的冥函数：
(5-15) 式中 H、μ--阻矩系数。
图5-12为弹条Ⅰ型扣件阻矩实测值。对螺母扭矩为100 N?m的实测阻矩值进行回归分析，求得回归函数如下：
（二）丧失稳定的因素 丧失稳定的主要因素是温度压力与轨道初始弯曲。由于温度升高引起的钢轨轴向温度压力是构成无缝线路稳定问题的根本原因，而初始弯曲是影响稳定的直接因素，胀轨跑道多发生在轨道的初始弯曲处。因而控制初始弯曲的大小，对保证轨道稳定有重要作用。 初始弯曲一般可分为弹性初始弯曲和塑性初始弯曲。现场调查表明，大量塑性初始弯曲矢度为3～4mm，测量的波长为4～7 m。塑性初弯矢度约占总初弯矢度的58.33%。 不等波长稳定性计算公式
不等波长稳定性计算公式的基本假定是：轨道为无限长梁，此梁埋置在均匀介质(道床)中；梁具有初始弯曲；梁在温度压力作用下，变形曲线波形与初始弯曲波形相似，但波长不等。 (一)计算图示(图5-13)
初始弯曲的线形函数为： 图5—13 不等波长方法计算图
该函数满足如下边界条件；当x=0或x=l0时，y0=0，y'0=0。 初始弯曲位于半径等于R的弯道时，则初始状态曲线可用函数 ys表示。
式中 f0——轨道初弯矢度；
l0——轨道初弯弦长。 在温度压力作用下，轨道将在有初始弯曲的地方产生变形。变形后的曲线仍保持连续，用函数yK表示： 相对图5-13的坐标系，初始弯曲y0的表达式，应改写为：
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同理，yR可改写为：
则 (5-16)
式中 f——弯曲变形矢度； l——弯曲变形弦长。
(二) 公式推导
无缝线路失稳前，随着轨温上升，横向变形逐渐扩大直至达到临界状态，其间横向位移较小，道床横向阻力的非线性和不平顺影响明显，而道床纵向阻力可不考虑。
已知初始弯曲函数y0和弯曲变形函数yk，运用弹性势能驻值原理推导公式如下： 1．梁压缩变形能A1
式中 Δl ——梁变形前后的弧长差； sK ——梁变形之后的弧长； ss——梁初始状态的弧长；
dx ——梁的微分长度。 由于变形过程中弧长是增加的，所以对轴压力P来说起着能量释放的作用，故在P之前冠以负号。将所有线形函数代入上式后则得：
设 (5-17)
则 (5-18)
2．梁的弯曲形变能A2
设梁的初弯曲y0包括塑性初弯曲y0p，其矢度为f0p和弹性初弯曲y0e，其矢度为f0e。由于弹性初弯曲的存在，则在初弯曲范围内存在着分布初弯矩M0e(x)。从而梁的弯曲形变能为：
由于
于是得 式中 EI--两股钢轨在平面内的抗弯刚度。 将梁的弯曲函数代入之后可
得 设 (5-19)
则 (5-20)
3．道床形变能A3
设q为道床横向分布阻力。由公式(5-14) ，道床形变能的表达式
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