?dN?t??rN?t?,?dt??N?t??N0t?t0?(1)不难得到其解为N?t??N0er(t?t0).
2.1.2 密度制约模型
由马尔萨斯模型知，种群总数将以几何级数增长，显然与实际不符，因为种群密度增大时，由于食物有限，生物将产生竞争，或因为传染病不再按照增长率r增长，因而有必要修改，在(1)式右端增加一项竞争项。
dN?t?N?t??rN?t?(1?)dtK(2)
其中K为最大容纳量，可以看出当N?t??K时，种群的规模不再增大。这个模型就是著名的Logistic模型，可以给出如下解释：由于资源最多仅能维持K个
1个体，故每个个体平均需要的资源为总资源的，在t时刻个体共消耗了总资源
K的
N?t?N?t?此时资源剩余1?，因此Logistic模型表明：种群规模的相对增长
KK率与当时所剩余的资源份量成正比，这种种群密度对种群规模增长的抑制作用。
称为密度制约。显然当不考虑密度制约因素时，Logistic方程就变成了Malthus模型。
由方程(2)可见，种群规模有两个平衡态N?t??0;N?t??K，易知其解曲线的分布如下图
(可由函数单调性讨论得到)
2.2 两种群相互作用的模型 Volterra模型
（1）. 无捕捞情况下的模型
假定，若不存在捕食者y?t?时，食饵种群规模x?t?的增长符合马尔萨斯方程，即
dx?t??ax?t? dt其中a?0为增长率，当捕食者存在y?t?时，单位时间内每个捕食者对食饵的吞食量与食饵种群规模x?t?成正比，比例常数为b?0从而有
dx?t??ax?t??bx?t?y?t? dt再假定捕食者吞食食饵以后，立即转化为能量，供给捕食种群的繁殖增长(略去时滞)，设转化系数为?，捕食种群的死亡率与种群规模成正比，比例系数为d。于是有
dy?t???bx?t?y?t??dy?t? dt这样，Volterra便得到由捕食者与食饵所构成的两种群相互作用的数学模型
?dx?ax?bxy??dt??dy?cxy?dy??dt(3)
其中c??b。这是一个非线性微分方程，我们对它进行定性讨论。
A: 确定平衡点(驻点，稳定点)
?ax?bxy?0da由?解得两个平衡位置O(0,0);M(,)
cb?cxy?dy?0B: 考虑各个平衡点的稳定性 对O(0,0)，考虑其一次线性近似系统
?dx?ax??dt ?dy???dy??dt得到其特征方程为(??a)(??b)?0，得到特征根?1?a?0;?2??b?0，易知具有正实部的特征根，所以有常微分方程的知识知平衡点O(0,0)是不稳定的。
dada对平衡点M(,)，作变换x?x?,y?y?，将坐标系平移，系统(3)化为
cbcbbd?dx??y?bxy??dtc??dy?acx?cxy?b?dt(4)
可用同样的方法讨论其稳定性。 易知其稳定但非渐近稳定。
同号——结点 相异（非零）实根
实根 异号——鞍点(不稳定)
临界结点（正的不稳定，负的稳定） 重（非零）实根 退化结点（正的不稳定，负的稳定） 实部不为零——焦点 复根 实部为零——中心(稳定但非渐近稳定)
由matlab给出系统(3)的数值模拟： 假定a?1,b?0.1,c?0.02,d?0.5
可由simulink仿真模拟出其解曲线的图形
从而验证了稳定而非渐近稳定 (2) 考虑捕捞情况下的模型
假定由于海上捕捞，食饵与捕食者的数量分别以hx和hy的速率减少，其中h反映了捕捞能力，它由渔船的规模、设备与技术水平、下网次数等因素所确定h?a，于是在捕捞情况下，系统(3)就变为
?dx??a?h?x?bxy??dt??dy?cxy??d?h?y??dt(5)
可以判断其平衡点及其稳定性的情况
