第八章 假 设 检 验三、解答题
1. 某种零件的长度服从正态分布，方差? = 1.21，随机抽取6件，记录其长度（毫米）分别为
32.46，31.54，30.10，29.76，31.67，31.23
在显著性水平? = 0.01下，能否认为这批零件的平均长度为32.50毫米？ 解：这是单个正态总体均值比较的问题，若设该种零件的长度则需要检验的是：
2
X~N(?,?2)，
H0:???0 H1:???0
由于?已知，选取Z2?X??0?n为检验统计量，在显著水平? = 0.01下，H0的拒绝域为：
{|z|?Z?2}?{|z|?Z0.005}
查表得Z0.005?2.575829，现由
n=6,
1n,??1.1, ?0?32.50 x??xi?31.12667ni?1计算得：
z?X??0?n?31.12667-32.51.16?3.05815
z?Z0.005
可知，z落入拒绝域中，故在0.01的显著水平下应拒绝H0，不能认为这批零件的平均长度为32.50毫米。 2. 正常人的脉搏平均每分钟72次，某医生测得10例“四乙基铅中毒”患者的脉搏数如下：
54，67，68，78，70，66，67，65，69，70
已知人的脉搏次数服从正态分布，问在显著水平? = 0.05下，“四乙基铅中毒”患者的脉搏和正常人的脉搏有无显著差异？
解：这是单个正态总体均值比较的问题，若设“四乙基铅中毒”患者的脉搏数要检验的是：
X~N(?,?2)，则需
H0:???0 H1:???0
由于方差未知，选取T?X??0sn为检验统计量，在显著水平? = 0.05下，H0的拒绝域为：
{|t|?t?2(n?1)}?{|t|?t0.05/2(9)}
查表得t0.025(9)?2.26215716，现由
n=10, 计算得
1n1n2， ?xi?x?2?35.1555556x??xi?67.4 , s??ni?1n?1i?1t?X??0sn?67.4?7235.155555610?2.4533576
t?t0.025(9)
可知，t落入拒绝域中，故在0.05的显著水平下应拒绝H0，“四乙基铅中毒”患者的脉搏和正常人的脉搏有显著差异。
3. 从某种试验物中取出24个样品，测量其发热量，算得平均值x?11958，样本均方差s?316．设
发热量服从正态分布，在显著性水平? = 0.05下，是否可认为该试验物发热量的平均值不大于12100？ 解：这是单个正态总体均值比较的问题，该试验物发热量
X~N(?,?2)，则需要检验的是：
H0:???0 H1:???0
此为右边检验，由于方差未知，应选用t统计量检验，在显著水平? = 0.05下，H0 的拒绝域为
?x?????0?t?(n?1)?=t?t0.05(24?1)?t?sn??????
?12100计算得到
由表得
?t0.05(23)?1.714?，现有n=24，x?11958，s?316，?t?x??sn00
?-2.20144<1.714
可知，t未落入拒绝域中，故在0.05的显著水平下应接受H0 ，认为该试验物发热量的平均值不大于12100。 4. 某种电子元件的寿命（以小时记）服从正态分布．现测得16只元件的寿命如下所示：
159 222
280 362
101 168
212 250
224 149
379 260
179 485
264 170
问在显著性水平? = 0.05下，是否可以认为元件的平均寿命显著不小于225小时？ 解：这是单个正态总体均值比较的问题，该电子元件的寿命 H0 ：?X~N(?,?2)，则需要检验的是：
?225 H1 ：??225
此为左边检验，由于总体服从正态分布且方差未知，故选用t检验，在显著性水平? = 0.05下，H0 的拒绝域为
?x?????0t??(n?1)??=t??t0.05(16?1)?t?sn??????
查表得?t0.05(15)??1.7531有n=16，x=(159+280+??+170)/16=241.5，s=9746.8，计算得到
2?0?225，
t?x??sn0=0.668518> - 1.7531
可知，t未落入拒绝域中，故在0.05的显著水平下不能拒绝H0 ，可以认为元件的平均寿命显著不小于225小时。
5. 设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机的抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5，标准差为15分．
(1) 问在显著水平? = 0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？ (2) 在显著水平? = 0.05下，是否可以认为这次考试考生的成绩的方差为16？ 解: (1):按题意需检验
H0 ：?2
?70 H1 ：??70
此为双边检验，由于方差未知，应选用t检验，在显著水平为? = 0.05下，H0 的拒绝域为
??x????0t??(n?1)? ??=?t?t0.025(36?1)?=?t?2.0301t?2sn?????66.5，s=15，??70计算得到
0现有n=36，x
t?x??sn0?1.4<2.0301
可知，t为落入拒绝域中，故在0.05的显著水平下应接受H0 ，可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分。
（2）按题意需检验 H0 ：?取检验统计量?22?162 H1 ： ?2?162
?(n?1)s2?20，在显著水平为? = 0.05下，H0 的拒绝域为
??2??21??2(n?1)??2??20.975??2?2(n?1) 即 ?2??2??20.975(35)??2????20.025(35)
?计算得
?(35)?20.569，?220.0252(35)?53.203 (n?1)s2=
由n=36，
x?66.5，s=15，?0?162，而
???2035?15?1516?16=30.76172，由于
20.569<30.76172<53.203 ，则统计量?为落入拒绝域中，不能拒绝H0 ，可以认为这次考试考生的成绩的方差为16。
26. 某厂生产的某种型号的电池, 其寿命长期以来服从方差? = 5000 (小时)的正态分布, 现有一批这种电池，从它生产情况来看，寿命的波动性有所变化．现随机的取26只电池，测出其寿命的样本方差S
2
2
22
=
9200(小时)．问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化（显著性水平? = 0.05）?
解：按题意需检验
H0 ：?取检验统计量为?22?5000 H1 ： ?2?5000
，在显著水平? = 0.05下，H0 的拒绝域为：
?(n?1)s2?20??2??21??2(n?1)??2????2?2(n?1)即?2???2?20.975(25)??2????20.025(25)?
计算得
2?20.975(25)?13.11972，?220.025(25)?40.64647
?25?9200?46>40.64647落入了H0的
5000由n=26，
?0?5000，s?9200，则??(n?1)s2?20拒绝域，应该拒绝H0，即认为这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化。
7. 对7岁儿童作身高调查结果如下所示，设身高服从正态分布，能否说明性别对7岁儿童的身高有显著影响（显著性水平? = 0.05）？（提示：先做方差齐性检验，再做均值检验.）
性别 男 女
人数(n) 384 377
平均身高(x) 118.64 117.86
标准(S) 4.53 4.86
2 解：设男孩的身高服从X1~N(?1,?12)，女孩身高服从X2~N(?2,?2)。根据题意需对量总体的均
值进行比较，由于两总体方差未知，需要首先进行方差的齐性检验，即检验?2和?2是否有显著差异，然
12后再检验
?1和?是否有显著差异。
2（1）检验假设
H0 ：
?21??2 H1 ： ?1??2
222由于
?，
1?未知，选取统计量F=
2ss1222，在显著水平? = 0.05下，拒绝域为：
?F?F计算得
1??2，376) (n1?1，n2?1)?F?F?2(n1?1，n2?1)即F?F0.975(383,376)?F?F0.025(383???????F0.975，(383，376)?0.817555F0.025(383,376)?1.223391
拒绝域为
?F?0.817555???F?1.223391?。由观测数据得到
n1=384，n2=377，
x1?118.64，
x?117.86，s1=4.53，s2=4.86，F=ss22122?4.53?4.53未落入拒绝域，不能拒绝H0 ，在0.05?0.8688084.86?4.86的显著水平下，可以认为性别对儿童身高的方差无显著差异。
（2） 根据（1）的结论，可以在 H0：
???1222的条件下检验假设
???12 H1：
???12
选t=
x?x12为检验统计量，在显著水平? = 0.05下，H0的拒绝域为：
S?11nn?12?t?t计算
?2(n1?n2?2)??t?t0.025(759)?计算得
?t0.025。 (759)?1.963094s?再求出t得
x?x(n?1)s?(n?1)sn?n?21221121222t???11118.64?117.86(384?1)?4.35?4.35?(377?1)?4.86?4.8611??384?377?2384377nn?12=2.290739?t?1.963094
可知，t落入H0的拒绝域中，故在0.05显著水平下应拒绝H0 ，认为性别对儿童身高有显著差异。
8. 某自动车床生产的产品尺寸服从正态分布，按规定产品尺寸的方差?2不得超过0.1，为检验该自动车床的工作精度，随机的取25件产品，测得样本方差S2 = 0.1975，x达到所要求的精度（显著性水平? = 0.05）? 解：按题意需检验
H0：?取统计量?2?3.86．问该车床生产的产品是否
2?0.1 H1：?2?0.1
?(n?1)s2?20，在显著性水平? = 0.05下，H0的拒绝域为：
??2??(n?1)??2???2??20.05(25?1)计算得??20.05(24)?36.41503
由观测数据n=25，s = 0.1975，x22?3.86，?0?0.1，
得?2?(n?1)s2?20(25?1)?s2??47.4>36.41503落入H0的拒绝域中，故在0.05的显著水平下应
0.1拒绝H0 ，认为床生产的产品没有达到所要求的精度。
9. 一台机床大修前曾加工一批零件，共n1=10件，加工尺寸的样本方差为s1工一批零件，共n22?25(mm2).大修后加
2?4(mm2).设加工尺寸服从正态分布，问此机?12件，加工尺寸的样本方差为s2
