选修系列 极坐标与参数方程练习——教师版
1、（09金陵中学）已知直线l的极坐标方程为?sin(????x?10cos?． )?6，圆C的参数方程为?3?y?10sin?（1）化直线l的方程为直角坐标方程；（2）化圆的方程为普通方程；（3）求直线l被圆截得的弦长． 解：（1）由?sin(?-?y?2?3)=6得:?(12sin??33cos?)=6------------2分3x?122即：3x?y?12?0-----------------------4分
（2）x?y?100（3）?d?6且r?10------------------------------------ 7分?弦长等于16------------------------10分2?x?4?2tx22、（09南京）已知直线l和参数方程为? (t为参数）,P是椭圆?y?1上任意一点，求
4?y?t?2点P到直线l的距离的最大值 解： 直线l的参数方程为??x?4?2t?y?t?2 (t为参数）故直线l的普通方程为x?2y?0
因为p为椭圆
x24?y2?1上任意点，故可设P(2cos?,sin?)其中??R。
因此点P到直线l的距离是d?|2cos??2sin?|1?22222|sin(???5?4)|
所以当??k???4，k?z时，d取得最大值
255。
π33、（09南通）在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C (2，
)，半径R=5，求圆C的极坐标方程.
解法一：设P(ρ，θ)是圆上的任意一点，则PC= R=5. ……………4分 由余弦定理，得ρ2+22－2×2×ρcos(θ－
化简，得ρ2－4ρcos(θ－
解法二：将圆心C (2，
π3π3π3)=5. ………………8分
)＋1=0，此即为所求的圆C的方程. ……………………10分
)化成直角坐标为(1，3)，半径R=5， …………………2分
22
故圆C的方程为(x－1)＋(y－3)=5. ……………4分
22
再将C化成极坐标方程，得(ρcosθ－1)+(ρcosθ－3)=5. ………6分
化简，得ρ－4ρcos(θ－
2
π3)＋1=0 ，此即为所求的圆C的方程. …………10分
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4、（09通州第）求经过极点O(0,0),A(6,?2),B(62,9?4)三点的圆的极坐标方程.
解：将点的极坐标化为直角坐标，点O,A,B的直角坐标分别为?0,0?,?0,6?,?6,6?， 故?OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，圆心为?3,3?，半径为32，
圆的直角坐标方程为?x?3???y?3??18，即x2?y2?6x?6y?0，…………5分 将x??cos?,y??sin?代入上述方程，得??6??cos??sin???0，
222即??62cos????????. ……………………………………………………………10分 4???5、（09盐城中学）若两条曲线的极坐标方程分别为??1与??2cos???求线段AB的长．
解：由??1得x2?y2?1， ……………2分
又???2cos(???x?y?x?22???，它们相交于A,B两点，3??3)?cos??3sin?,??2??cos??3?sin?
3y?0， ……… 4分
22??x?y?1由?22??x?y?x?得A(1,0),B(?3y?0212,?32), ……… 8分
?AB??1?3??0????1??????22????23． …………10分
6、（09扬州大学附中3月月考）圆O1和圆O2的极坐标方程分别为??4cos?，???sin?． （1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求经过圆O1，圆O2两个交点的直线的直角坐标方程．
解：以有点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位． （1）x??cos?，y??sin?，由??4cos?得??4?cos?．
所以x?y?4x．即x?y?4x?0为圆O1的直角坐标方程．
同理x?y?y?0为圆O2的直角坐标方程． ……………………………………6分
22??x?y?4x?0（2）由?
22??x?y?y?02222222相减得过交点的直线的直角坐标方程为4x?y?0． …………………………10分
4?x?1?t?57、（09扬州）求直线???y??1?3t?5?（t为参数）被曲线??2cos(???4)所截的弦长，
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4?x?1?t?解：将方程?5??y??1?3t?5?，??2cos(???4)分别化为普通方程：
223x?4y?1?0，x?y?x?y?0,………(5分)
112111722圆心C（，－），半径为圆心到直线的距离d＝，弦长＝2r?d?2??.……(10分)
22210210058若两条曲线的极坐标方程分别为??1与??2cos????????，它们相交于A,B两点，求线段AB的长．
3?解：由??1得x2?y2?1， ……………2分
又???2cos(???x?y?x?22?3)?cos??3sin?,??2??cos??3?sin?
3y?0， ……… 4分
22??x?y?1由?22??x?y?x?得A(1,0),B(?3y?0212,?32), ……… 8分
?AB??1?3??1??0????????2?2???23． …………10分
9、设点P在曲线?sin??2上，点Q在曲线???2cos?上，求|PQ|的最小值． 解：以极点为原点，极轴所在直线为x轴建立直角坐标系.
将?sin??22化为直角坐标方程，得直线方程y?2…………………………………………3分 将???2cos?化为直角坐标方程，得圆方程(x?1)2?y2?1……………………………………6分 所以圆心（－1，0）到直线距离为2，|PQ|的最小值为2－1＝1……………………1
10、在极坐标系中,设圆??3上的点到直线?cos??3sin??2的距离为d,求d的最大值. 解：将极坐标方程??3转化为普通方程：x?y?9…………………………………(2分) ?cos??2222???3sin??2可化为x??3y?2……………………………(5分)
在x?y?9上任取一点A?3cos?,3sin??,则点A到直线的距离为
3cos??33sin??2d?2?6sin(??30)?220,它的最大值为4 …………(10分)
11．已知圆C的参数方程为???x?2?4cos?y?4sin?,若P是圆C与y轴正半轴的交点,以坐标原点O为极点,x选修系列 极坐标与参数方程练习——教师版 第 3 页 共 4 页
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,试求过点P的圆C的切线的极坐标方程.
解:由题设知,圆心C(2,0),P(0,23,)故所求切线的直角坐标方程为x?极坐标方程为?cos??3?sin??6?0………………………………(10分)
3y?6?0从而所求切线的
12．已知在直角坐标系x0y内，直线l的参数方程为?圆C的极坐标方程为??22sin(???4).
?x?2?2t,?y?1?4t, (t为参数)．以Ox为极轴建立极坐标系，
(1)写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程； (2)判断直线l和圆C的位置关系. (1)Y=2x+3 (2)相交
13已知圆的极坐标方程为：?2?42?cos?????????6?04?．
⑴将极坐标方程化为普通方程；⑵若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．
??x?2?解：⑴x?y?4x?4y?6?0； ⑵圆的参数方程为???y?2?222cos?,2sin?,
所以x?y?4?2sin????????4?，那么x＋y最大值为6，最小值为2． ………………10分
1?x?t???t14、过点P（－3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线?，相交于A、B两点．求线段AB(t为参数）1?y?t??t?的长．
?1?3x?t?x??3?s??22??t2(s为参数）x?y?4解：直线的参数方程为?曲线?可以化为． (t为参数）11?y?s?y?t???t??22将直线的参数方程代入上式，得s?63s?10?0．
设A、B对应的参数分别为
s1，s2，∴
s1?s2?63，s1s2?10．AB
?s1?s2?(s1?s2)?4s1s22＝217．
说明：掌握直线，圆，圆锥曲线的参数方程及简单的应用．
?9?)三点的圆的极坐标方程. 解：将点的极坐标化为直角坐标，15、求经过极点O(0,0),A(6,),B(62,24点O,A,B的直角坐标分别为?0,0?,?0,6?,?6,6?，故?OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，圆心为
?3,3?，半径为32，
2222圆的直角坐标方程为?x?3???y?3??18，即x?y?6x?6y?0，…………5分
将x??cos?,y??sin?代入上述方程，得??6??cos??sin???0，即??62cos???2?????. 4?选修系列 极坐标与参数方程练习——教师版 第 4 页 共 4 页
