西南交通大学本科毕业设计(论文) 第3页 希尔伯特-黄变换(HHT)是上世纪末Huang等人首次提出的一种新的信号分析理论。它的主要创新是固有模态(IMF)概念的提出和经验筛法(EMD)的引入。通过EMD，将信号分解成IMF(一般为有限数目)的和，对每个IMF进行Hilbert变换就可以获得有意义的瞬时频率，从而给出频率变化的精确表达。信号最终可以被表示为时频平面上的能量分布，称为Hilbert谱。进而还可以得到信号的边际谱。HHT是基于信号局部特征的和自适应的，因而是高效的。它特别适用于分析大量频率随时间变化的非线性、非平稳信号。变化的频率是现实生活中人们经常直观感觉到的现象，HHT的根本目的就是描述和揭示这种时变频率现象及其规律，即求信号的瞬时频率。但为了获得信号某一时刻的瞬时频率值，HHT自适应地利用了信号在该时刻的局部信息。这种表现为瞬时值，实际上自适应地隐含了信号局部信息的量称为局瞬量，将这种获得局瞬量的信号分析理论称为局瞬信号分析。为了体现这一特点，将HHT进一步称为希尔波特-黄变换局瞬信号分析(HHT-LISA)。 HHT-LISA具有重要的理论价值和广阔的应用前景，已在一些实际工程领域中获得了有效的应用。但HHT的第一篇公开文献直到1998年才发表，因而这一理论出现的时间还很短暂，其完善和发展还有诸多工作要做。HHT-LISA是现阶段一个全新的研究课题。对变化频率的研究虽然很早就已经开始，但后来的工作大都转向通过对信号的时频联合分析间接揭示这一现象，且都采用积分方法，它们的最终理论依据都基于傅里叶分析。傅里叶分析是发展最早和最成熟的信号分析理论，也是首先采用频谱分析信号的方法。但傅里叶分析中的频率是用全局的正弦波定义的，与时间无关。用傅里叶变换分析时变频率的信号会出现虚假信号和假频等缺陷。用基于傅里叶分析理论的时频联合分析也必然遭受同样的局限。并且，由于受Heise erg不确定原理的限制，时频分析不能达到精确描述频率随时间变化的目的。HHT-LISA直接研究瞬时频率和对其规律进行精确地描述，且采用微分方法，因而其应用价值大为提高。
1.3.1 希尔伯特变换
希尔伯持(Hilbert)变换是信号分析中的一种重要工具，它在研究信号的瞬时特性(瞬时振幅、瞬时相位、瞬时频率)、对已调信号进行检波、降低信号的抽样速率以及在分析非线性与非平稳信号等方面有其应用。对于一个复时间信号z(t)
＝2(t)+jx(t)，若它在t0及相邻区间内处处可导，那么称复时间信号z(t)在t0处解析。如果z(t)在区间D内每点解析，则称z(t)是D区间内的解析信号。若复时间信号z(t)为时域因果信号，则z(t)的博里叶变换z(w)为频域解析信号；若复时间信号z(t)为时域解析信号，则z(t)的傅里叶变换Z(w)为频域因果信号。希尔伯特变换理论是根据解析信号的解析性与因果性的对应关系而建立起来的。
西南交通大学本科毕业设计(论文) 第4页 1.3.1.1 连续时间信号的希尔伯特变换
设x(t)为实信号，由它构成的时域解析信号z(t)表示为
z(t)?x(t)?jx(t) （1.1）
?而z(t)傅里叶变换为
Z(?)?X(?)?jX(?) （1.2）
?由于时域解析信号z(t)与频域因果信号Z(w)的对应关系可知，X(?)应为
X(?)??jX(?) （1.3）
??将式（1.2）代入式（1.3）得
Z(?)?2X(?)，??0
Z(?)?0,??0
?为了得到时域信号x(t)的计算式，将上式表示的频域因果信号Z(?)写为如下形式
Z(?)?2X(?)U(?) （1.4）
对U(?)作奇、偶分解，得
（1.5） U(?)?12[1?sgn(?)]将式(1.5)代入式（1.4），得
Z(?)?X(?)?X(?)sgn(?) （1.6）
将式（1.6）代入式（1.5），可得频域信号X(?)的计算式为
X(?)??jX(?)sgn(?)
??若将H(?)??jsgn(?)看成系统函数，X(?)和X(?)分别看成式系统的输入、输出信号，则式（1.6）可改写为如下形式
X(?)?X(?)H(?)
?? 系统函数H(?)对输入信号X(?)所起到的作用，可以由系统函数的振幅谱和相位谱的特点看出。
H(?)??jsgn(?)??j,??0 （1.7）
H(?)??jsgn(?)??j,??0若将系统记为H(?)?H(?)ej?(?)，那么系统函数的振幅谱和相位谱可分别表示为
H(?)?1 ?(?)???22,??0 (1.8)
??(?)??,??0说明希尔伯特变换不改变X(?)的幅频特性，只改变X(?)的相频特性，即
西南交通大学本科毕业设计(论文) 第5页 90°相移。
对式（1.6）中的X(?)和H(?)分别求傅里叶反变换为
X(?)?x(t) 1H(?)??jsgn(?)??h(t)?t并根据时域褶积定理，可得希尔伯特变换的时域褶积式为
11x(?)x(t)?x(t)*??d? （1.9）
?t???t????? 将式（1.6）写成如下形式
X(?)??jX(?)sgn(?)?jX(?)sgn(??)
?并将上式两端乘以?jsgn(??)，得
?) X(?)??jX(?)sgn?(（1.10） 对式（1.10）中的X(?)和?jsgn(??)分别求傅里叶反变换为
1
?jsgn(??)???tX(?)?x(t)???由时域褶积定理，可得希尔伯特反变换的时域褶积式为 x(t)?x(t)*??11???t???x(t)d? （1.11） ?t?????称式（1.9）和式（1.11）为连续时间信号的希尔伯特变换对，说明解析信号z(t)的实部x(t)与虚部x互为希尔伯特变换关系。 1.3.1.2 离散时间信号的希尔伯特变换
设x(n)的希尔伯特变换为x(n)，h(n)为连续时间希尔伯特变换单位冲激响应h(t)的理想抽样结果。由于抽样信号的频率响应是周期为2?的周期信号，即频域变量?在一个周期内的取值为-?～?，因此h(n)对应的离散时间傅里叶变换为
H(?)??j,0???? (1.12)
H(?)??j,?????0??求式（1.12）的离散时间傅里叶反变换，得离散时间希尔伯特变换的单位抽样相应为
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1h(n)?2?0???jej?n1d??2???0jej?nd??1[2?e?j?n?ej?n]2?n111?(?1)n?[2?cos(n?)]?[1?cos(n?)]??2(n?),n为奇数2?n?nn? （1.13） 0?111j?nj?n?j?nj?nh(n)?jed??jed??[2?e?e]??2???2?02?n111?(?1)n?[2?cos(n?)]?[1?cos(n?)]??0，n为偶数2?n?nn?于是，离散时间信号x(n)的希尔伯特变换为 x(n)?x(n)*h(n)???x(n?2m?1) （1.14） ??mxn??(2m?1)2??由x(n)和x(n)构成的解析信号为
z(n)?x(n)?jx(n) （1.15）
?1.4 本文的主要研究内容
本文通过对某一非平稳信号在延拓前后再进行EMD时频分析，从得到的EMD分析结果中找出信号的端点效应在EMD分析过程中所产生的影响，在此基础上，并从中找到消除端点效应的方法。具体而言，本文主要的研究工作如下：
（1） 阐述希尔伯特变换的基本概念及原理，连续信号与离散信号的希尔伯特变换过程以及差异，FFT的原理和概念。
（2） 阐述了EMD时频分析方法的基本概念，研究了EMD的分解算法及其在分解中应注意的问题。
（3） 在分析EMD原理的基础上分析了影响EMD分解精度的原因。针对EMD分解中存在的端点效应，给出利用数据序列延拓技术抑制端点效应的方法，着重分析了BP神经网络延拓法的算法实现以及存在的不足。进行仿真试验，验证了用BP神经网络延拓抑制端点效应的可行性，然后对实际数据进行延拓和EMD分析。
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第二章 EMD时频分析方法的基本理论
2.1引言
本章首先阐述了瞬时频率的基本概念，通过对其物理意义的分析引出本征模函数的定义；然后，研究了经验模态分解(EMD)的原理，并对其分解的完备性及正交性进行了探讨，在此基础上研究了EMD分解算法的具体步骤和流程图；接着，对EMD分解所得的各个IMF分量进行Hilbert变换，得到信号的Hilbert/Huang时频谱与边际谱，并阐述了它们的物理意义；最后，对其算法及其在分解中应注意的问题进行了分析。
2.2 EMD方法的基本概念
基于EMD的时频分析主要由两个步骤组成：(1)对时间序列进行EMD分解，分解成本征模函数组；(2)对每个本征模函数进行希尔伯特变换再组合成时频谱图进行分析。
有必要先了解两个基本概念，这是掌握EMD时频分析方法的基础： (1)瞬时频率：Norden E.Huang等人分析认为，瞬时频率只对本征模函数分量才具有物理意义；
(2)本征模函数：任一信号都是由若干本征模函数(IMF)组成，EMD分解的目的就是获取各个IMF分量，为希尔伯特变换作准备。
2.2.1瞬时频率
在传统的傅立叶分析中，频率被定义为在整个数据长度中具有恒定幅度的正弦或余弦函数。作为这一定义的扩展，瞬时频率的概念也必须与正弦或余弦函数相关。根据这个逻辑，少于一个波长的长度将无法给出频率定义，而且这样的定义对于频率时刻变化的非平稳信号也将没有意义。因此提出了瞬时频率的概念。概念上，瞬时频率可以解释为一个正弦波局部最佳逼近被分析信号频率值；物理上，它仅仅对单分量信号有效，单分量信号可以理解为仅仅含有一个频率成分或者一个随时间变化的窄带分布频谱，对于多分量信号将不能保证瞬时频率随时间变化的单值性，因此把多分量信号分解成单分量信号的组合对瞬时频率的计算是必不可少的步骤。瞬时频率的比较直观的定义是解析信号相位的导数，但以往这一定义会产生一些错误的结果，导致基于瞬时频率的时频分析方法和理论始终未真正建立和发展起来。
对于给定函数x (t)，其Hilbert变换可以定义为函数x (t)与1?t的卷积
