合肥师范学院2013届本科生毕业论文（设计）
比较得ta?t0?5?1.
6 高等数学中微分方程的应用 6.1 微分方程的概念
在我们的实际生活中有很多量，它随着时间的变化率正比于它的大小.例如，银行的存款按照一定的利率增加.
在数学上恰有一个函数能描述上述现象，这就是指数函数； 指数函数关于自变量的变化率正比于它的大小：
若y?Cekx，则
dy?ky. dx因此，用指数函数来描述上述现象我们将不会惊讶.事实上，满足上述方程的函数一定是指数函数[3].
定理3 若y满足（6.11），则y?Cekx，这里C是任意的常数. 证明：由（6.11）
y'?k，从而 y?定理得证.
y'dx??kdx，lny?kx?C1 yy?ekx?C1?eC1ekx?Cekx(C?ec1).
我们刚才解的方程（6.11）是一个含有函数的导数的方程式，人们称这种方程式为微分方程式.微分方程的解是函数，而不是数，这是与代数方程不同的地方.
6.2 微分方程应用题
【例5】 一起交通事故发生了3个小时以后，警方测得司机的血液中酒精的含量是
56/100(mg/ml),又过了两个小时，其血液内酒精含量降为40/100(mg/ml)，试判断，当事
故发生的时候，司机是否违反了酒精含量的规定（不超过80/100(mg/ml)）.
解：设C(t)为t时刻血液中酒精的浓度，则浓度递减率的模型应为C'??kC，其通解是
C(t)?C(0)e?kt，而C(0)就是所求量.由题设可知C(3)?56,C(5)?40,故有
C(0)e?3k?56 和 C(0)e?5k?40. 由此解得
e2k?56/40?k?0.17?C(0)?56e3k?94.
可见在事故发生时，司机血液中酒精的浓度已经超出了规定.
7 高等数学中有关概率论的应用
关于概率论方面的应用题，可以发现其应用题种类繁多，应当结合题目所涉及的具体
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情境，对隐含在题目已知条件中的隐含条件进行分析，找出他们当中的关系，最终回到利用概率知识求解概率模型的解题思路当中.在这里，本文就以最基本的两个类型进行介绍.
7.1 古典型概率
称随机试验（随机现象）的概率模型为古典概型（也称等可能概型），如果其基本事件空间（样本空间）满足：
（1）只有有限个基本事件（样本点）；
（2）每个基本事件（样本点）发生的可能性都一样.
如果古典概型的基本事件总数为n，事件A包含k个基本事件，即有利于A的基本事件为k个，则事件A的概率定义为
P(A)??k事件A所含基本事件的个数? n基本事件总数由上式计算的概率称为事件A的古典概型[8].
【例6】 一条公交车的路线，中途设有9个停靠站，最后达到终点站.已知在起点站上有20位乘客上车，那么在第一站恰有4位乘客下车的概率?是多少？（假设每位乘客在各车站下车时等可能的）
解：设事件A表示第一站有4位乘客下车，则样本空间所含样本点总数为1020，而事件A是20位乘客中有4人在第一站就下车，其余16位没有在第一站下车，他们将在第一站后面
4169. 的9个站（包含终点站）下车，因此有利于事件A的样本点为C20根据古典概型公式有
416C209???(A)??0.0898.
10207.2 几何型概率
称随机试验（随机现象）的概率模型为几何模型，如果： （1）样本空间（基本事件空间）?是一个可度量的几何区域；
（2）每个样本点（基本事件）发生的可能性都是一样的，即样本点落入?的某一个可度量的子区域A的可能性大小与A的几何度量成正比，而与A的位置及形状无关.
在几何概率型随机试验中，如果SA是样本空间?的一个可度量的子区域，则事件A?“样本点落入区域SA”的概率定义为：
P(A)?SA的几何度量.
?的几何度量由上式计算的概率称为事件A的几何型概率[8].
【例7】 甲乙两人相约于12点至1点在某地会面.先到的人需等候另一个人20分钟，过时就立即离开，设两人的到达时刻在12点至1点间都是随机和等可能的，则求这两人会面的概率p.
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解：以x表示甲到达的时刻，以y表示乙到达的时刻.
要这两个人会面，其充要条件是x?y?20. 记事件A表示“两人能会面”，?表示所有可能，则
A?{(x,y)x?y?20,(x,y)??}
??{(x,y)0?x?60,0?y?60}
602?4025p?P(A)??.
96028 结束语
通过大学对高等数学的学习，我们知道高等数学应用题种类很多，而本文中主要介绍了六类高等数学中的应用题类型，即高等数学中导数的应用、极值最值的应用、不定积分的应用、定积分的应用、微分方程的应用和有关概率的应用.然而高等数学应用题还有其他方面的应用，这还有待于我们进一步探索研究.
毕业论文是对我们大学四年来所学知识的总结与拓展，这其中所涉及到的知识点多而杂，这时就是考察我们综合能力的时刻了，我们既要对高等数学进行系统的复习，还要对自己所学到的知识进行一次系统的梳理.在写论文的过程中，我们既对以前所学的知识点有了一次新认识，又掌握了一定的新知识.不过在这个过程中也遇到了许多困难，加上自己本身的知识有限，因而所写论文难免有不足之处.但是我会继续努力的.
从论文选题，到开题报告，开题报告答辩，一直到论文的形成，感谢乔老师这几个月来悉心认真的指导，给我提出很多中肯的意见，也为我的论文提供了很多有价值参考资料.在这次论文的写作过程中，我学会了很多东西，明白做事首先要有一个正确认真的态度，然后脚踏实地，一步一步向着目标前进.每个人都不是一个孤立的个体，同学朋友之间相互帮助相互沟通借鉴是很重要的.从老师身上我也看到了他严谨的态度和无私的奉献，不仅拓宽了我的专业知识，还让我明白为人处世的道理，在此我向老师致以我最诚挚的敬意.
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参考文献
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