微分与导数有什么关系呢？对某自变量为时间t的函数F(t)，它的极其微小的变化，我们记它为微分dFdF
dF，它与时间微分dt满足关系式：dF= dt，其中 为F对t的导数。
dtdt
下面是常见的微分公式与微分运算法则： ①d?c??0 ②dx???nxnxxn?1dx ③d?sinx??cosxdx
④d?cosx???sinxdx ⑤de???edx ⑥d?u?v??du?dv
?u?vdu?udv ??2v?v?⑦d?cu??cdu ⑧d?uv??vdu?udv ⑨d?㈢积分
在上例问题中，在△t的时间内，通过电阻R的电量为△q= i△t，△q称为电量微元。如果我们把0到t时间内的△q加起来，用求和符号“∑”表示，则有：q=∑i△t。由于t=N△t,当△t取无穷小时，那么i△t就有N→∞个，也就是，我们要把无穷个i△t进行相加操作，为了方便，我们用微积分符号idt表示q=lim∑i△t=idt，称为对i在时间上求积分。我们来看一下
?t?0??这么做有什么意义：
①从几何上看，对于i-t 图像，q=lim∑i△t=idt
?t?0?就是图像中的面积。对于恒定电流，很简单，△q= i△t，即小块矩形面积；对于变化的电流，用△q= i△t来计算，发现有一小块近似三角形面积的误差，不过当我们取当△t取无穷小时，用极限处理后，该误差会无穷逼近零，可以忽略不计，那么计算的面积就无限精确接近实际面积了。
dq
②前面我们求导用了i= ，积分用了q=idt。可以看出，从某种程
dt
?度上说，积分实际是求导的逆运算，比如：q=Q0-Q=Q0(1-ee
-t/CR
-t/CR
), i =
Q0
CR
dq
满足求导和积分的运算关系i= 、q=idt。
d t
?对于一般函数F，如果有f=
dF
，那么就有dt
?fdt=F+C。请思考，为什么积分中会出现常数C？
n下面是常见的积分公式，请同学们对照求导公式理解：
xn?1?c ①?kdx?kx?c ②?xdx?n?1③cosxdx?sinx?c f ④sinxdx??cosx?c ⑤edx?e?c
现在我们用微积分书写方式来来解答上题。 由Q0=Q+q ； Q=Q0-q ； UQ
则dQ= - dq = - idt= - dt= - dt ；
RCR
???xx 6
dQ1
即 = - dt ；
CR Q对等号两边积分：
det1怎么来求?dQ呢？我们知道 =e， d tQ令F(t)= e，有t=lnF； dFdF则有 =F，即 =dt=d(lnF) ； d tFtt11= dQ??Q?CRdt；
t-t/CR
有lnQ = - C`，或者Q=Ce；
CR
当t=0时，Q(0)=C=Q0 ；
-t/CR
所以电容器电量为Q= Q0e 。 1那么dQ= d(lnQ)= lnQ+C。 Q
1 ?dt=？请同学们自己推导。 CR
㈣ 定积分
【例】某质点在X轴上做直线运动，其速度v满足函数关系v=3t2,求从t=1s到t=3s时间内质点发生的位移。
???分析：在dt时间内，质点可以认为做匀速直线运动，即ds=vdt,那么对等号两边积分，有
?ds??vdt??3t2dt，则有：s= t3 +C ；
现在有问题了：当t=0时，S(0)等于多少我们不知道！而且已知条
件中的时间“从t=1s到t=3s”也没有用上！
下面我们从物理上考察C这个常数的意义。
t=0时，s(0)=C。当我们令C=0时，相当于质点在零时刻从坐标原点开始运动；当我们令C=1时，相当于质点在零时刻从坐标位置X=1m处开始运动；??。
我们发现，C这常数的取值相当于选取观察质点运动的静止参考系位置，然而所求的从t=1s到t=3s时间内质点发生的位移应该与所选取的静止参考系无关，也就是对任意静止参考系，质点发生的位移应该是一致的，如图所示。
那么我们就随便选取某一参考系，使质点在零时刻从坐标位置X=Cm处开始运动，则位移与时间的函数关系式为：s(t)= t3 +C。题
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目中所求的1到3秒的位移为：s1=s(3)-s(1)=（3+C）-（1+C）=8m 。
题目中所要求的位移（速度积分）与积分式
?fdt=F+C中的
bC无关，当要求t=t1到t=t2时间内位移时，s(t1→t2)=s(t2) - s(t2)。这个相当于我们用s=∑v△t来求v-t图像中的从t=t1到t=t2范围内的面积。我们用一种简单符号表示这种关系：
?afdt=F(b) –
F(a)。这种积分叫定积分。
【练】1、已知导线中的电流按I = t3-0.5t+6的规律随时间 t 变化，式中电流和时间的单位分别为A和s。计算在t =1s到t =3s的时间内通过导线截面的电荷量。
【练】2、某质量为m的均匀细杆，长为L，绕其一端点做角速度为ω的匀速转动，试求其动能。
【练】3、某弹簧劲度系数为K，原长为L，若将弹簧从2L长拉伸至3L长处，问应克服弹簧弹力做多少
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功？
【练】4、对于某电路，通过电阻R=2Ω的电流i=2t+1(A)，问从t=0时刻开始经过4s后，电阻产生的焦耳热是多少？
四：课后习题
1、质量为2kg的某物体在平面直角坐标系中运动，已知其x轴上的坐标为x=3+5cos2t，y轴上的坐标为y=-4+5sin2t，t为时间物理量，问：
⑴物体的速度是多少？
⑵物体所受的合外力是多少? ⑶该物体做什么样的运动？
⑷能否找出该物体运动的特征物理量吗？
2
2、一质点在某水平力F的作用下做直线运动，该力做功W与位移x的关系为W=3x-2x,试问当位移x为多少时F变为零。
3、已知在距离点电荷Q为r处Ａ点的场强大小为E=KQ
请验证Ａ点处的电势公式为：U = 。
r
4、某复合材料制成的一细杆OP长为L，其质量分布不均匀。在杆上距离O端点为x处取点A，令M为细dML2
杆上OA段的质量。已知M为x的函数，函数关系为M=kx，现定义线密度ρ= ,问当x= 处B点的线密
dx2度为何？
1-5
5、某弹簧振子的总能量为2×10J，当振动物体离开平衡位置 振幅处，其势能EP= ，动能
2Ek= 。
6、取无穷远处电势为零。若将对电容器充电等效成把电荷从无穷远处移到电容器极板上，试问，用电压U对电容为C的电容器充电，电容器存储的电能为何？开始时电容器存放的电荷量为零。
7、在光滑的平行导轨的右端连接一阻值为R的电阻，导轨宽度为L，整个导轨水平放置在方向竖直向下的磁场中，磁场的磁感应强度为B。有一导体棒ab垂直轨杆并停放在导轨上，导体棒与导轨有良好的接触。在t=0时刻，给导体棒一水平向左的初速度V0，若其他电阻不计，则 ⑴求导体棒的速度v随时间t的函数表达式；
⑵求导体棒从开始运动到停下为止，其滑行的总位移S；
⑶求导体棒在运动过程中产生的感应电流I随时间t的函数关系； ⑷求全过程中流过导体棒的总电荷Q。
一、变力做功
在功的问题中，恒力做功是最简单的，公式为W?F?S．
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KQ , r2“以常代变”，功的微元应该通过恒力做功公式得到的．
例8．3．1 一压簧，原长1m，把它每压缩1cm时所用的力为0.05N．问在弹性范围内把它由1m（如图8．3．1）压缩到60cm（如图8．3．2）所做的功．
图8．3．1
图8．3．2
解
令起点为原点，压缩的方向为x轴的正方向
当把弹簧自原点压缩至?0,0.4?之间的任意点x处时（如图8．3．3）
图8．3．3
由胡克定律知所承受的弹簧的压力为
F?x??0.050.01x?5x 在此力的作用下，再继续压缩一点点dx，即压缩至x?dx处 由于dx很小，这个压缩过程可认为力F?x?不变，即恒力做功 则由恒力做功公式得功的微元
dW?F?x?dx
积分得W??0.40F?x?dx
??0.405xdx
?52x20.40
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?0.4?J?．
例8．3．2 在原点处有一带电量为?q的点电荷，在它的周围形成了一个电场．现在x?a处有一单位正电荷沿x轴正方向移至x?b处，求电场力所做的功．又问若把该电荷继续移动，移动至无穷远处，电场力要做多少功． 解
点电荷在任意点x处时所受的电场力为F?x??kq（k为常数） 2x电场力做功的微元dW为点电荷由任意点x处移动至x?dx处时电场力F?x?所做的功 即dW?F?x?dx?kqdx x2则移至x?b处电场力做的功
W??kabqdx 2x1b??kq
xa?11??kq???；
?ab?移至无穷远处电场力做的功
W??ka??qdx x2?kq（物理学中称此值为电场在x?a处的电位）． a例8．3．3 一圆台形水池，深15m，上下口半径分别为20m和10m，如果把其中盛满的水全部抽干，需要做多少功? 解
水是被“一层层”地抽出去的，在这个过程中，不但每层水的重力在变，提升的高度也在连续地变化
图8．3．4
其中抽出任意一层水（x处厚为dx的扁圆柱体，如图8．3．4阴影部分）所做的功为抽水做功的微元dW
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