第三章 流体动力学基础
????3－1 已知速度场为u?2(x?y)i?(x?y)j?(x?z)k (m/s)，求(2，3，1)点的速度和
加速度。
已已知知：：ux?2(x?y)，uy?x?y，uz?x?z 解解析析：：(1) (2，3，1)点的速度为
ux?2(x?y)?10m/s，uy?x?y??1m/s，uz?x?z?1m/s u?ux?uy?uz?10?(?1)?1?10.10m/s (2) (2，3，1)点的加速度为
222222
ax??ux?u?u?u?uxx?uyx?uzx???x?y?z
?0?2(x?y)?2?(x?y)?2?0?6x?2y?6?2?2?3?18m/2s
ay??uy???ux?uy?x?uy?uy?y?uz?uy?z
?0?2(x?y)?1?(x?y)?(?1)?0?x?3y?2?3?3?11m/2saz??uz?u?u?u?uxz?uyz?uzz???x?y?z
?0?2(x?y)?1?0?(x?z)?(?1)?x?2y?z?2?2?3?1?9m/2s a?222ax?ay?az?182?112?92?22.93m/s2
????23－2 已知速度场为u?(3x??)i?2(??y)j?(4y?3)zk (m/s)，求τ＝2秒时，位
于(2，2，1)点的速度和加速度。
已已知知：：ux?3x??，uy?2(??y2)，uz?(4y?3)z 解解析析：：(1) τ=2秒、位于(2，2，1)点的速度为
ux?3x???8m/， suy?2(??y)??4m/，suz?(4y?3)z?5m/s u?ux?uy?uz?8?(?4)?5?10.25m/s (2) τ=2秒、位于(2，2，1)点的加速度为
2222222
ax??ux?u?u?u?uxx?uyx?uzx???x?y?z
?1?(3x??)?3?0?0?3(3x??)?1?3?(3?2?2)?1?25m/2say?
?uy???ux?uy?x?uy?uy?y?uz?uy?z
?2?0?2(??y2)?(?4y)?0?8y(y2??)?2?8?2?(22?2)?2?34m/2saz??uz?u?u?u?uxz?uyz?uzz???x?y?z
?0?0?2(??y2)?4z?(4y?3)2z?8z(??y2)?(4y?3)2z?8?1?(2?22)?(4?2?3)2?1?9m/2s
a?222ax?ay?az?252?342?92?43.15m/s2
???3－3 已知二维流场的速度分布为u?(4y?6x)?i?(6y?9x)?j (m/s)。问：
(1)该流动是稳定流还是非稳定流？是均匀流还是非均匀流？ (2)τ＝1秒时，(2，4)点的加速度为多少？ (3)τ＝1秒时的流线方程？
已已知知：：ux?(4y?6x)?，uy?(6y?9x)?
解解析析：：(1) 因为速度与时间有关，所以该流动是非稳定流动；由下述计算得迁移加速度为零，流线为平行直线，所以该流动是均匀流动。
(2) 加速度的计算式为
ax??ux?u?u?u?uxx?uyx?uzx???x?y?z ?(4y?6x)?(4y?6x)??(?6?)?(6y?9x)??4??2(2y?3x)
ay??uy???ux?uy?x?uy?uy?y?uz?uy?z
?(6y?9x)?(4y?6x)??(?9?)?(6y?9x)??(6?)?3(2y?3x)则τ=1秒、位于(2，4)点的加速度为
ax?4m/s，ay?6m/s；a? (3) 将速度分量代入流线微分方程，得 (6y?9x)?dx?(4y?6x)?dy?0 分离变量，积分得 (9x?4y?12xy)??C 或写成 (3x?2y)2222222ax?ay?7.21m/2s
??C
简化上式，得τ=1秒时的流线方程为 (3x?2y)?C?
3－4 已知速度场为ux?2y???，uy?2x?，uz?0。求τ＝1时，过(0，2)点的流线方
3程。
已已知知：：ux?2y?＋?3，uy?2x?，uz?0 解解析析：：将速度分量代入流线微分方程，得
2x?dx?(2y???3)dy?0? ?
dz?0?积分上式，得
(x2?y2)??y?3?C1? ?
z?C2?则 τ=1秒时，过(0，2)点的流线方程为
x2?y2?y?6?0? ?
z?C?3－5 20℃的空气在大气压下流过0.5m直径的管道，截面平均流速为30m/s。求其体积流量、质量流量和重量流量。
已已知知：：在大气压下20℃空气的密度为1.205kg/m3，管道直径为0.5m，截面平均流速为30m/s。
解解析析：：(1) 体积流量为 Q?uA?11?d2u???0.52?30?5.89m3/s 441122(2) 质量流量为 M??uA??d?u???0.5?1.205?30?7.09kg/s
44(3) 重量流量为
11?d2?gu???0.52?1.205?9.81?30?69.60N/s 44y23－6 流体在两平行平板间流动的速度分布为 u?umax[1?()]
b G??guA?式中umax为两板中心线y＝0处的最大速度，b为平板距中心线的距离，均为常数。求通过两平板间单位宽度的体积流量。
2已已知知：：速度分布为 u?umax[1?()]
yb解解析析：：由体积流量计算式，得 Q?y24udy?2u[1?()]dy?buma x?A?0maxb3b3－7 下列各组方程中哪些可用来描述不可压缩流体二维流动？ (1) ux?2x2?y2，uy?x3?x(y2?2y) (2) ux?2xy?x2?y，uy?2xy?y2?x2 (3) ux?x??2y，uy?x?2?y?
(4) ux?(x?2y)x?，uy?(2x?y)y? 已已知知：：速度分布方程。
解解析析：：将以上各速度分量分别代入不可压缩流体的连续性方程： (1)
?ux?uy??4x?2xy?2x?0，不可用来描述不可压缩流体二维流动； ?x?y?ux?uy(2) ??2y?2x?2x?2y?0，可以用来描述不可压缩流体二维流动；
?x?y(3)
?ux?uy??????0，可以用来描述不可压缩流体二维流动； ?x?y?ux?uy(4) ??2x??2y??2x??2y??4x??0，不可用来描述不可压缩流体二
?x?y维流动。
3－8 下列两组方程中哪个可以用来描述不可压缩流体空间流动？
1(x?2?y?)z2 21222234(2) ux?y?2xz，uy?xyz?2yz，uz?xz?xy
2(1) ux?xyz?，uy??xyz?，uz?2已已知知：：速度分布方程。
解解析析：：将以上各速度分量分别代入不可压缩流体的连续性方程：
?ux?uy?uz(1) ???yz??xz?2?(x?2?y?)z?0，可以用来描述不可压缩流体
?x?y?z空间流动；
?ux?uy?uz(2) 不可用来描述不可压缩流体???2z?x2z?2z?x2z?2x2z?0，
?x?y?z空间流动。
3－9 已知不可压缩流体二维流动在y方向的速度分量为uy?y?2x?2y，求速度在x方向的分量ux。
2已已知知：：不可压缩流体二维流动的速度分量 uy?y?2x?2y
2解解析析：：由不可压缩流体二维连续性方程
?ux?uy??0，得 ?x?y ux????ydx???(2y?2)dx??(2xy?2x)?f(y)
?uy3－10 已知不可压缩流体在r、θ方向的速度分量分别为ur?z方向的分量uz。
已已知知：：不可压缩流体在r、θ方向的速度分量为 ur?解解析析：：由不可压缩流体三维柱坐标的连续性方程
4,uθ?4r，求速度在2r4,uθ?4r。 r2ur?ur?uθ?uz????0，得 r?rr???z uz??(?ur?ur?u?48??)dz???(3?3)dz?4r?3z?f(r，?) r?rr??rr3－11 设不可压缩流体空间流动的两个速度分量为 (1) ux?ax2?by2?cz2，uy??dxy?eyz?fzx
y2z2x2z2(2) ux?ln(2?2)，uy?sin(2?2)
bcac其中a、b、c、d、e、f均为常数。已知当z＝0时uz＝0。试求第三个速度分量。 已已知知：：不可压缩流体空间流动的两个速度分量。 解解析析：：(1) 由不可压缩流体空间流动的连续性方程
?ux?uy?uz???0，得 ?x?y?z
uz???(?ux?uy?)dz???(2ax?dx?ez)dz?x?y
1??(2axz?dxz?ez2)?f(x，y)212ez)。 2当z=0时，uz?0，则f(x，y)?0，所以 uz??(2axz?dxz?(2) uz??(??ux?uy?)dz???(0?0)dz?f(x，y) ?x?y当z=0时，uz?0，则f(x，y)?0，所以 uz?0。
3－12 已知不可压缩理想流体的压力场为p?4x?2y?yz?5z (N/m2)，若流体密
322????度ρ＝1000kg/m。g＝9.8m/s。求流体质点在r?3i?j?5k m位置上的加速度。
3
2
3222已已知知：：p?4x?2y?yz?5z(N/m)，ρ=1000 kg/m3，g=9.8 m/s2。
解解析析：：由压力分布式得
?p?p?p?12x2；??4y?z2；??2yz?5； ?x?y?z由已知条件，得fx?0，fy?0，fz??g。代入以下欧拉运动微分方程，
