Ppt99专业课件下载网
http://www.ppt99.com http://www.ppt99.com
习题解答 习题一
1-1 ｜?r｜与?r 有无不同?
drdt和
drdt有无不同?
dvdt和
dvdt有无不同?其不同在哪里?
试举例说明．
解：（1）?r是位移的模，?r是位矢的模的增量，即?r?r2?r1，?r?r2?r1；
??（2）
drdtdrdt是速度的模，即
drdt?v?dsdt.
只是速度在径向上的分量.
drdt?drdt??rr?drdt?（式中r?叫做单位矢）∵有r?rr，则
式中
drdt就是速度径向上的分量，
∴
drdt与drdt不同如题1-1图所示.
题1-1图
?dvdv? (3)表示加速度的模，即a?，是加速度a在切向上的分量.
dtdtdtdv∵有v?v?(?表轨道节线方向单位矢），所以
?dvdtdvdt?dv?dt????v?d?dt
式中就是加速度的切向分量.
?d??dt(???drdt与的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论)
1-2 设质点的运动方程为x=x(t)，y=y(t)，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出r＝
x?y22，然后根据v =
drdt，及a＝
drdt22而求得结果；又有人先计算速度和加速度
的分量，再合成求得结果，即
Ppt99专业课件下载网
http://www.ppt99.com
v=
?dx??dy??????及a=dtdt????22?d2x?2?dt???d2y???2??dt??2?? 你认为两种方法哪一种??2正确？为什么？两者差别何在？
???解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有r?xi?yj，
?dx?dy??dr?v??i?jdtdtdt 2?22??dxdy?dra??i?j222dtdtdt故它们的模即为
v?v?v2x2y??dx??dy???????dt??dt?2222 ????2a?ax?ay?22?dx??dy?2????dt??dt2???2而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作
v?drdta?drdt22
其二，可能是将
drdt与drdt22误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明
drdt不是速度的模，
而只是速度在径向上的分量，同样，
drdt22也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中
22?dr??d????r的一部分?a径?。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢在径向（即r???2dtdt????????量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢r及速度v的方向随间的变化率对速度、加速
度的贡献。
1-3 一质点在xOy平面上运动，运动方程为
x=3t+5, y=
12t+3t-4.
2
式中t以 s计，x,y以m计．(1)以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t=1 s 时刻和t＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t＝0 s时刻到t＝4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t＝4 s 时质点的速度；(5)计算t＝0s 到t＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．
Ppt99专业课件下载网
http://www.ppt99.com
解：（1） r?(3t?5)i?(t2?3t?4)jm
2??1?(2)将t?1,t?2代入上式即有
???r1?8i?0.5j m ???r2?11j?4jm ??????r?r2?r1?3j?4.5jm
??????(3)∵ r0?5j?4j,r4?17i?16j
?∴ v???r?t???r4?r04?0???12i?20j4???1?3i?5jm?s
????dr?1?3i?(t?3)jm?s (4) v?dt???则 v4?3i?7j m?s?1
(5)∵ v0?3i?3j,v4?3i?7j ????v4?v0?v4??2 a????1jm?s
?t44??dv??2?1jm?s (6) a?dt这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。
??????
1-4 在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图所示．当人以
v0(m·s?1)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．
图1-4
解： 设人到船之间绳的长度为l，此时绳与水面成?角，由图可知 l?h?s
将上式对时间t求导，得
222Ppt99专业课件下载网
http://www.ppt99.com
2ldldt?2sdsdt 题1-4图
根据速度的定义，并注意到l,s是随t减少的， ∴ v绳??dsdtdldt?v0,v船??dsdt
即 v船????ldlsdt2?ls2v0?1/2v0cos?
或 v船?lv0s?(h?s)sv0
将v船再对t求导，即得船的加速度
s?l22dldta?dv船dt?ls2dsdtv0??v0s?lv船s2v0
(?s??ss)v02?hv0s3221-5 质点沿x轴运动，其加速度和位置的关系为 a＝2+6x2，a的单位为m?s?2，x的单位为 m. 质点在x＝0处，速度为10m?s,试求质点在任何坐标处的速度值． 解： ∵ a?dvdt?dvdxdxdt?vdvdx?1
2分离变量： ?d??adx?(2?6x)dx 两边积分得
12v2?2x?2x?c
3由题知，x?0时，v0?10,∴c?50
∴ v?2x3?x?25m?s?1 1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 a＝4+3t m?s=0，求该质点在t＝10s 时的速度和位置．
?2，开始运动时，x＝5 m，v
Ppt99专业课件下载网
http://www.ppt99.com
解：∵ a?dvdt?4?3t
分离变量，得 dv?(4?3t)dt 积分，得 v?4t?32t?c12
由题知，t?0,v0?0 ,∴c1?0 故 v?4t?又因为 v?分离变量， dx?(4t?32t)dt
2232t 32t
22dxdt?4t?积分得 x?2t?由题知 t?0,x0?5 ,∴c2?5 故 x?2t?所以t?10s时
32?212t?c2
312t?5
3v10?4?10?x10?2?102?10122?1903m?s?1
?10?5?705m3?式中以弧度计，t以秒计，1-7 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 ?=2+3t，
求：(1) t＝2 s时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°角时，
其角位移是多少?
解： ??d?dt?9t,??2d?dt?18t
?2 (1)t?2s时， a??R??1?18?2?36m?s
?2
an?R?ο2?1?(9?2)22?1296m?s(2)当加速度方向与半径成45角时，有
tan45??a?an?1
