(2) 由牛顿第二定律
f?ma?mdvdvdxdvdv?m?mv?kv?mvdtdxdtdx , 即 dx
0kks?dx?dv??dx??dvv0m 所以 对上式两边积分 m0
得到
?mvks??v0s?0mk 即
2-4 质量为m的小球，在水中受到的浮力为F，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻
力为f＝kv(k为常数)。若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v与时间的关系为
mg?Fv?kkt????1?em?????
fF0[证明] 任意时刻t小球的受力如图所示，取向下为y轴的正方向，
开始沉降处为坐标原点。由牛顿第二定律得
dvmg?F?f?ma?mdt
mgydvdtdv?mg?F?kv?ma?mdt 整理得 mg?F?kvm对上式两边积分 即
?0vdvdt??mg?F?kv0mtln 得
mg?F?kvkt??mg?Fm 即
mg?Fv?kkt????1?em?????
2-5 跳伞运动员与装备的质量共为m，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的
2平方成正比，即F?kv。求跳伞员的运动速率v随时间t变化的规律和极限速率vT。
[解] 设运动员在任一时刻的速率为v，极限速率为vT，当运动员受的空气阻力等于运动员
2及装备的重力时，速率达到极限。 此时 mg?kvT即
vT?mgk有牛顿第二定律
dvdtdv?mg?kv?m2mdt 整理得 mg?kv对上式两边积分
2?0vtdtdv1?mg?kv2?0m2mgk
2t2t 得
tln?mg?kvmmg?kvv? 整理得
eemkg2tmkg?1mge?k?1emkg2tmkg?1?1vT
2-6 两个质量都是m的星球，保持在同一圆形轨道上运行，轨道圆心位置上及轨道附近都
没有其它星球。已知轨道半径为R，求：(1)每个星球所受到的合力；(2)每个星球的运行周期。
[解] 因为两个星球在同一轨道上作圆周运动，因此，他们受到的合力必须指向圆形轨道的
7-6
圆心，又因星球不受其他星球的作用，因此，只有这两个星球间的万有引力提供向心力。所以两个星球必须分布在直径的两个端点上，且其运行的速度周期均相同
F1?F2?G(1)每个星球所受的合力
mm?2R?2m2?G24R
Rv22?RT?4?RF1?mT?Gm R v 联立上述三式得 (2) 设运动周期为T
T1?T2?T?4?RRGm
所以，每个星球的运行周期
2-7 一种围绕地球运行的空间站设计成一个环状密封圆筒(像一个充气的自行车胎)，环中心的半径是1.8km。如果想在环内产生大小等于g的人造重力加速度，则环应绕它的轴以多大的速度旋转？这人造重力方向如何？
2m?r?mg [解] 由于人造重力即人在环内的惯性离心力，所以有
??g9.8?2??7.4?10rad/s3r1.8?10此人造重力的方向为沿着环的转动半径向外。
2-8 一根线密度为?的均匀柔软链条，上端被人用手提住，下端恰好碰到桌面。现将手突然松开，链条下落，设每节链环落到桌面上之后就静止在桌面上，求链条下落距离s时对桌
面的瞬时作用力。
[解] 链条对桌面的作用力由两部分构成：一是已下落的s段对桌面的压力N1，另一部分是
?
正在下落的dx段对桌面的冲力N2，桌面对dx段的作用力为N2。显然 N1??sg
t时刻，下落桌面部分长s。设再经过dt，有dx落在桌面上。取下落的dx段链条为研究对
v?2gs?象，它在dt时间之内速度由变为零，根据动量定理N2dt?dp (1) ???2sg?N2??N2??2sg?dp?0??vdx (2) dx?vdt (3) 由(2)、(3)式得 N2
故链条对桌面的作用力为 N?N1?N2?3?sg
第三章习题解答
3-4 质量为m=0.002kg的弹丸，其出口速率为300ms，设弹丸在枪筒中前进所受到的合力F?400?800x9。开抢时，子弹在x=0处，试求枪筒的长度。
[解] 设枪筒长度为L，由动能定理知
A?1212mv?mv022
7-7
其中
A??Fdx??0LL08000x(400?)dx9
4000L2?400L?9而v0?0，所以有：
400L2?360L?81?0L?0.45m 即枪筒长度
4000L2400L??0.5?0.002?30029化简可得：
为0.45m。
3-5 在光滑的水平桌面上平放有如图所示的固定的半圆形屏障。质量为m的滑块以初速度
v0沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为?，试证明：当滑块从屏障的另一
12?2??W?mv0e?12端滑出时，摩擦力所作的功为 [证明] 物体受力：
??屏障对它的压力N，方向指向圆心，摩擦力f方向与运动方向相反，大小为 f??N (1)另外，在竖直方向上受重力和水平桌面的支撑力，二者互相平衡与运动无关。
v2N?m?f?maR (3)联立上述三式解得 t由牛顿运动定律切向 (2) 习题3-4图法向v2at???R
又
dvdvdsdvat???vdtdsdtds 以
dvv2v???dsR即
?dv??dsvR
两边积分，且利用初始条件s=0时，v?v0得
lnv???Rs?lnv0即 v?v0?seR?
112W?mv2?mv022由动能定理 ，当滑块从另一端滑出即s??R时，摩擦力所做的功为
??R111222?2??W?mv0eR?mv0?mv0e?1222
2???3-6 一质量为m1与另一质量为m2的质点间有万有引力作用。试求使两质点间的距离由x1增
加到x?x1?d时所需要作的功。 [解] 万有引力
F??Gm1m2r2r0
两质点间的距离由x增加到x?x1?d时，万有引力所作的功为
7-8
A??x1?dx1F?dr???x1?dx1Gm1m2r2x1?d?11?dr?Gm1m2???x?dx??1? ?1?11?d?F?dr?Gm1m2???Gmm12?x?x1?x1?d??1x1?d? A外??E??Ep＝?
故外力所作的功
A???A??x1此题也可用功能原理求：
3f?kr 3-7 设两粒子之间的相互作用力为排斥力，其变化规律为，k为常数。若取无
穷远处为零势能参考位置，试求两粒子相距为r时的势能。
[解]由势能的定义知r处的势能
Ep为:
Ep??f?dr??fdr??rr???rk1dr??kr32r2?r?k2r2
3-8 设地球的质量为M，万有引力恒量为G0，一质量为m的宇宙飞船返回地球时，可认为它是在地球引力场中运动(此时飞船的发动机已关闭)。求它从距地心R1下降到R2处时所增加的动能。
[解] 由动能定理，宇宙飞船动能的增量等于万有引力对飞船所作的功，而此功又等于这一
?Ek???Ep??[?G0?G0过程中地球与飞船系统势能增量的负值，即：
MmMm?(?G0)]R2R1
Mm(R1?R2)R1R23-9 双原子中两原子间相互作用的势能函数可近似写成
Ep?x??ab?x12x6，式中a、b为常
数，x为原子间距，两原子的势能曲线如图所示。(1)x为何值时
Ep?x??0?x为何值时
Ep?x?为极小值?(2)试确定两原子间的作用
力；(3)假设两原子中有一个保持静止，另一个沿x轴运动，试述可能发生的运动情况。
ab1a6??0?0x?1266Ep?x?xxxb 或 [解] (1) 当=0时，有:即
a1dEp(x)x1?()6或x??时，E（?0?0px）Epbdx习题2-32图故 (x)为极小值时，有
?12即
?abx1????6?0?b?x13x7 所以
12a?6或x2??
f(x)??graEdp(x)(2)设两原子之间作用力为f?x?，则 在一维情况下，有
7-9
f(x)??
dEp(x)dx?12ab?6x13x7
(3)由原子的受力情况可以看出可能发生的运动情况为:当x
它们互相排斥，另一原子将远离；当x>x2 时f(x)<0，它们又互相吸引，另一原子在远离过程中减速，直至速度为零，然后改变方向加速靠近静止原子，再当x 第四章习题解答 4-3 质量为M的平板车，在水平地面上无摩擦地运动。若有N个人，质量均为m，站在车上。开始时车以速度v0向右运动，后来人相对于车以速度u向左快跑。试证明：(1)N个人一同跳离车以后，车速为 v?v0?NmuM?Nm (2)车上N个人均以相对于车的速度u向左相继跳离，N个人均跳离后，车速为 mumumuv??v0?????M?NmM??N?1?mM?m [证明] (1) 取车和人组成的系统为研究对象，以地面为参照系，系统的水平方向的动量守恒。人相对于地面的速度为v?u，则?M?Nm?v0?Nm?v?u??Mv所以 v?v0?NmuM?Nm (2) 设x?1个人跳离车后，车的速度为vx?1，第x个人跳离车后，车的速度为vx，根据动量守 恒 定 律 得 ?M??N?x?1?m?vx?1?m?vx?u???M??N?x?m?vx 所以 vx?vx?1?mu?N?x?1?m?M 此即车速的递推关系式，取 x?1,2,?,N得 vN?vN?1?mum?MvN?1?vN?2mumumuv?v??v1?v0?21?N?1?m?M 2m?M????????Nm?M vN?v0?mumumumu?????Nm?M?N?1?m?M2m?Mm?M v??v0?mumumu????M?NmM??N?1?mM?m 将上面所有的式子相加得 此即为第N个人跳离车后的速度，即 4-6 F＝30+4t的力作用在质量为10kg的物体上，求： (1)在开始两秒钟内，此力的冲量是多少?(2)要使冲量等于 300N?s，此力作用的时间为多少?(3)若物体的初速度为10 ms，方向与F相同，在t=6.86s时，此物体的速度是多少? 7-10
