17．(本小题满分14分)
x2y2如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，顶点
aby B的坐标为（0，b），且△BF1F2是边长为2的等边三角形． B （1）求椭圆的方程；
l （2）过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，C两点， C 记△ABF2，△BCF2的面积分别为S1，S2．若S1＝2S2， 求直线l的斜率．
【解】（1）由题意，得a=2c=2，b2=a2－c2=3，
2y2x所求椭圆的方程为??1． ……………… 4分 43F1 O F2 x A （第17题） （2）设B到直线AC的距离为h，由于S1＝2S2，
所以，1AF2?h?2?1F2C?h，即AF2?2F2C， …………………………6分
22??????????所以，AF2?2F2C．
解法一：设A，又F（x1，y1）,C（x2，y2）（0， 21，）?x1?3?2x2，则（1?x1,?y1）?（2x2?1,y2）,即?y??2y. ……………………………8分
?1222?x2y2?x?7，??1，??24?43由?解得，? ………………………12分 2235（3?2x2）（?2y2）??y2??.??18??43??358??5． …………………………………14分 所以，直线l的斜率为k?7?124解法二：由（1）知，x1?3?2x2．…………………………………………8分
2y2x（x1，y1）设点A到椭圆??1右准线x?4的距离为d， 43则
AF21?，所以AF2?2?1x1，同理CF2?2?1x2，
22d2
（2?1x2）由AF2?2F2C得，2?1x1=2即x2=2+1x1． …………………10分 ，222所以，x2?7（以下同解法一）．……………………………………………12分
4解法三：椭圆的右准线为直线x?4，
分别过A，C作准线的垂线，垂足分别为A?，C?， 过C作CH⊥AA?，垂足为H．（如图）
y B C l C? CFAF21由于2??，……………10分
CC?AA?2F1 O F2 x A H A? 又AF2?2F2C，在RT△CAH中，
AC?3F2C，AH?2F2C，所以CH?5F2C，
所以tan?CAH?5．…………………………12分
2根据椭圆的对称性知，所求直线斜率为?5． …………………………14分
2
18．（本小题满分16分）
2x2y2已知椭圆2?2?1(a?b?0)右焦点F(1,0)，离心率为，过F作两条互相垂直的弦AB,CD，设
2abAB,CD中点分别为M,N．
y （1）求椭圆的方程；
（2）证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标； （3）若弦AB,CD的斜率均存在，求△FMN面积的最大值．
（第18题图）
x
17．（本小题满分15分）
x2y2BC过椭圆M如图，A,B,C是椭圆M:2?2?1(a?b?0)上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，
ab的中心，且满足AC?BC,BC?2AC． （1）求椭圆的离心率；
（2）若y轴被?ABC的外接圆所截得弦长为9，
求椭圆方程． yBAOx
C解⑴因为BC过椭圆M的中心，所以BC?2OC?2OB，
又AC?BC,BC?2AC，所以?OAC是以角C为直角的等腰直角三角形，
a2a2()(?)aaaa102222a?3b则A(a,0),C(,?),B(?,),AB?，则， a，所以2??1222222ab所以c?2b,e?226； 3aa44⑵?ABC的外接圆圆心为AB中点P(,)，半径为 则?ABC的外接圆为：(x?)?(y?)?令x?0，y?10a， 4a42a4252a 85aa5aa?(?)?9，得a?6， 或y??，所以
4444 （也可以由垂径定理得(102a29a)?()?得a?6） 442x2y2??1． 所以所求的椭圆方程为
3612
x2y2?1的上顶点为A，18. 已知椭圆C：?直线l:y?kx?m交椭圆于P，Q两点，设直线AP，AQ42的斜率分别为k1,k2．
（1）若m?0时，求k1?k2的值；
（2）若k1?k2??1时，证明直线l:y?kx?m过定点．
18．（本小题满分16分）
解（1）当m?0时，直线l:y?kx代入椭圆C：
222yAlOQFxxy??1的方程， 4222P 得到x?2kx?4， …………………………………………2分
解得P(?2)4分
1?2k2,?2k1?2k2，Q(21?2k2,2k1?2k2)，……………………?2k1?2k2?2 所以k?2k?2?1?2k21?2， ?21?2k22k2?2 k1?2k?2k?2?1?2k21?22，……………………………………6分 1?2k24k2 所以k?2(1?2k2)1?k2?4??12． …………………………………………8分 （2设P(xx2y21,y1),Q(x2,y2)，将直线l:y?kx?m代入椭圆C：4?2?1的方程， 并整理得到(1?2k2)x2?4kmx?2m2?4?0， ………………………………10分
则??0且xx4km2m2?41?2??1?2k2，x1?x2?1?2k2. 由k1?k2??1知，
y1?2y2x??2??1，……………………………………12分 1x2 即y1y2?2(y1?y2)?2?x1x2?0，
(kx1?m)(kx2?m)?2(kx1?m?kx2?m)?x1x2?2?0， k2x1x2?mk(x1?x2)?m2?2k(x1?x2)?22m?x1x2?2?0，
(k2?1)2m2?41?2k2?k(m?2)(?4km1?2k2)?m2?22m?2?0， (k2?1)(2m2?4)?k(m?2)(?4km)?(m2?22m?2)(1?2k2)?0， 所以，3m2?22m?2?0，所以m?2（舍）或m??23，………………14分 所以直线l过定点(0,?23)． …………………………………………16分
18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2y21a2?b2?1(a?b?0)的离心率e?2，l:x?my?1?0(m?R过椭圆)C的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点． （1）求椭圆C的标准方程；
直线
