?A′∪B=(A∪A′)∪B （∪的交换律） ?A′∪B=X∪B （互补律） ?A′∪B=Ｘ （零壹律）
方法三：因为A′?X且B?X，所以根据定理2的3?）就有A′∪B?Ｘ；
另一方面，由于B?A′∪B 及根据换质位律可得B′?A′?A′∪B，因此，由互补律及再次应用定理2的3?），可得X=B∪B′?A′∪B，即X?A′∪B；
所以，A′∪B=Ｘ。 (2)次证A′∪B=X?A∩B′=?；
A′∪B=X?(A′∪B)′=X′ （两边同时取补运算′）
?(A′)′∩B′=X′ （de Morgan律） ?A∩B′=X′ （反身律） ?A∩B′=X′ （零壹律）
(3)再证A∩B′=??A?B；
方法一：A=A∩X (零壹律)
=A∩(B∪B′) (互补律) =(A∩B)∪(A∩B′) (分配律) =(A∩B)∪? (条件A∩B′=?) =A∩B (零壹律) ?B （定理2的3)）
方法二：A∩B′=??B=B∪? (零壹律)
=B∪(A∩B′) （条件A∩B′=?） =(B∪A)∩(B∪B′) (分配律) =(A∪B)∩(B∪B′) (∪的交换律) =(A∪B)∩X (互补律) =A∪B (零壹律) ?A?B （定理4的2)）
10. 对于任意集合A，B，C，下列各式是否成立，为什么？
1） A∪B=A∪C?B=C 2） A∩B=A∩C?B=C
[解] 1）不一定。例如：A={a}，B={a，b}，C={b}。显然有
A∪B=A∪C，但B≠C。
2）不一定。例如：A={a}，B={a，b}，C={b，c}。显然有
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A∩B=A∩C，但B≠C。
11．设A，B为集合，给出下列等式成立的充分必要条件：
1） A\\B=B 2） A\\B=B\\A 3） A∩B=A∪B 4） A?B=A
[解] 1）A\\B=A∩B′，由假设可知A\\B=B，即A∩B′=B。由此可知B=A∩B′?B′，
故此B=B∩B′=?。
由假设可知A=A\\?=A\\B=B=?。所以当A\\B=B时有A=B=??。 反之，当A=B=?时，显然A\\B=B。 因此A\\B=B的充分必要条件是A=B=?。
2）设A\\B≠∈?，则有元素a∈A\\B，那么，a∈A，而由假设A\\B=B\\A。所以a∈B\\A，从而a?A，矛盾。所以A\\B=，故A?B。另一方面由B\\A=A\\B=?。可得B?A。因此当A\\B=B\\A时，有A=B。 反之，当A=B时，显然A\\B=B\\A=? 因此，A\\B=B\\A的充要条件是A=B。
3）由于A∪B=A∩B，从而A?A∪B=A∩B?B，以及B?A∪B=A∩B?A故此A∪B=A∩B，有A=B。
5） 根据定理6的1）有A??=A，由已知条件A?B=A，可得A?B=A??。 从而由对称差的消去律可得B=?。 反之，若B=?，则A?B=A??=A。 所以A?B=A的充分必要条件为B=?。 12. 对下列集合，画出其文图：
1） A′∩B′ 2） A\\（B∪C）′ 3） A∩（B′∪C） [解]
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A B X A B C X A B C X A′∩ B′
A \\ (B∪ C ) ′ A∩ (B′∪ C )
13. 用公式表示出下面图中的阴影部分 [解]
14. 试用成员表法证明
1）（A?B）?C=A（B?C） 2）（A∪B）∩（B∪C）?AB′ [解] 1）成员表如下 A B C ０ ０ ０ ０ ０ １ ０ １ ０ ０ １ １ １ ０ ０ １ ０ １ １ １０ １ １ １
成员表中运算结果?Ｃ及Ａ?（Ｂ?Ｃ）的两列状态表明，全集中的每一个体对它俩有相同的从属关系，故 （Ａ?Ｂ）?Ｃ＝Ａ?（Ｂ?Ｃ） 1） 成员表如下：
A B C ０ ０ ０ ０ ０ １ ０ １ ０ ０ １ １ １ ０ ０ １ ０ １ １ １０ １ １ １
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x A C (A∩C) \\B
B A
C B
x
(A∪B∪C)∪(A∩B∩C)′
A?B ０ ０ １ １ １ １ ０ ０ （A?B）?C ０ １ １ ０ １ ０ ０ １ B?C ０ １ １ ０ ０ １ １ ０ A?（B?Ｃ） ０ １ １ ０ １ ０ ０ １ A∪B （B∪C） (B∪C)′ 1 ０ ０ 0 ０ １ 0 １ １ 1 0 １ 0 1 １ 1 0 １ 1 1 0 1 0 １ (A∪B)∩(B∪C)′ ０ 0 0 ０ １ ０ ０ 0 B′ 1 1 0 0 1 1 0 0 A∩B′ 0 0 0 0 1 1 0 0 成员表中运算结果（A∪B）∩（B∪C）′及A∩B′的两列状态表明，全集中的每一个体，凡是从属（A∪B）∩（B∪C）′的，都从属A∩B′，故 （A∪B）∩（B∪C）′?A∩B
注：自然数集N取为{1，2，3，??，n，??}
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习题二（第二章 关系）
1．设A={1，2，3，}，B={a，b}求
1）A3B 2）B3A 3）B3B 4）2B3B [解] 1）A3B={（1，a），（1，b），（2，a），（2，a），（3，a），（3，b）}
2）B3A={（a，1），（a，2），（a，3），（b，1），（b，2），（b，3）} 3）B3B={（a，a），（a，b），（b，a），（b，b）} 4）2B={?，{a}，{b}，{a，b}}
2B3B{（?，{a}），（?，b），（{a}，a），（{a}，b），（{b}，a），（{b}，b），（{a，b}，b）}
2．使A?A3A成立的集合A存在吗？请阐明理由。
[解] 一般地说，使A?A3A成立的集合A不存在，除非A=?。
否则 A≠?，则存在元素x∈A3A，故有y1，y2∈A，使x=（y1，y2），从而y1，y2∈A3A，故此有y1，y2，y3，y4，使y1=（y1，y2），y2=（y3，y4），??。这说明A中每个元素x，其结构为元组的无穷次嵌套构成，这不可能。我们讨论的元素的结构必须是由元组的有限次嵌套构成。 3．证明A3B=B3A?A=?∨B=?∨A=B
[证] 必要性：即证A3B=B3A?A=?∨B=?∨A=B
若A3B=?，则A=?或者B=?
若A3B≠?，则A≠?且B≠?，因此对任何x∈A及任何y∈B就有（x，y）∈A3B，根据A3B=B3A，可得（x，y）∈B3A，故此可得x∈B，y∈A，因此而得A?B且B?A，所以由?的反对称性A=B。
充分性：即证A=?∨B=?∨A=B?A3B=B3A 这是显然的。 4．证明（A∩B）3（C∩D）=（A3C）∩（B3D）
[证]证法一：（元素法）对任一（x，y）∈（A∩B）3（C∩D） 有x∈A∩B，y∈C∩D，于是x∈A，x∈B，y∈C，y∈D。因而（x，y）∈A3C，且（x，y）∈B3D，所以（x，y）∈（A3C）∩（B3D）。因而（A∩B）3（C∩D）?（A3C）∩（B3D）
另一方面，对任一（x，y）∈（A3C）∩（B3D），于是有（x，y）∈A3C且（x，y）∈B3D，因而x∈A，y∈C，x∈B y∈D。所以x∈A∩B，y∈（C∩D）。所以（x，y）∈（A∩B）3（C∩D）。因而（A3C）∩（B3D）?（A∩B）3（C∩D）。
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