概率论与数理统计及其应用习题解答
?5??22?k10?kP(Y?k)?Ck10???27?????27??,k?0,1,2,?10
28（3）
P(Y?2)?C2?5??22?10???27?????27???0.2998，
P(Y?2)?1?P(Y?0)?P(Y?1)?0.5778。
12，（1）设随机变量Y的概率密度为
??1?y?0f(y)??0.2?0.2?Cy0?y?1?
?0其他试确定常数C，求分布函数F(y)，并求P{0?Y?0.5}，P{Y?0.5|Y?0.1}。
（2）设随机变量X的概率密度为
?1/80?x?f(x)??2?x/82?x?4?
?0其他求分布函数F(x)，并求P{1?x?3}，P{X?1|X?3}。
??01解：（1）根据1?f(y)dy?.2dy?4?C????0?(0.2?Cy)dy?0.2，得到C?1.2。?10??y0y??1?y???0.2dy1?1?y?0F(y)???f(y)dy???0y???0.2dy??(0.2?1.2y)dy ??100?y?1?01?0.2dy????1?(0.2?1.2y)dy0y?1??0y??1???0.2(y?1)?1?y?0?0.6y2?0.2y?0.20?y?1 ??1y?1P{0?Y?0.5}?P{Y?0.5}?P{Y?0}?F(0.5)?F(0)?0.45?0.2?0.25； 16
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P{Y?0.5|Y?0.1}?P{Y?0.5}1?P{Y?0.5}1?F(0.5)1?0.45????0.7106
P{Y?0.1}1?P{Y?0.1}1?F(0.1)1?0.2260?x?0x?1dxx?0?0??80?x?2?0?xx?21?x/80?x?2x（2）F(x)??f(x)dx?? ??2dx??dxx/162?x?4????0882?x?4?2?2?4x?4?11x?dx?dx??x?4?82?08P{1?x?3}?F(3)?F(1)?9/16?1/8?7/16；
P{X?1|X?3}?
P{?1X?3}F(3)?F(1)??7/9。
P{X?3}F(3)13，在集合A={1,2,3,….,n}中取数两次，每次任取一数，作不放回抽样，以X表示第一次取到的数，以Y表示第二次取到的数，求X和Y的联合分布律。并用表格形式写出当n=3时X和Y的联合分布律。 解：根据题意，取两次且不放回抽样的总可能数为n(n-1)，因此
P{X?i,Y?j}?当n取3时，
1，（i?j，且1?i,j?n）
n(n?1)P{X?i,Y?j}?X 1 2 3 1,（i?j，且1?i,j?3）,表格形式为 61 0 1/6 1/6 2 1/6 0 1/6 3 1/6 1/6 0 Y 14,设一加油站有两套用来加油的设备，设备A是加油站的工作人员操作的，设备B是有顾客自己操作的。A，B均有两个加油管。随机取一时刻，A，B正在使用的软管根数分别记为X，Y，它们的联合分布律为
X 0 1 2 （1） 求P{XY 0.10 0.04 0.02 0 0.08 0.20 0.06 1 0.06 0.14 0.30 2 ?1,Y?1}，P{X?1,Y?1}；
（2） 求至少有一根软管在使用的概率； （3） 求P{X?Y}，P{X?Y?2}。
?1,Y?1}=0.2，
17
解：（1）由表直接可得P{X
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P{X?1,Y?1}=0.1+0.08+0.04+0.2=0.42
（2）至少有一根软管在使用的概率为
P{X?Y?1}?1?P{X?0,Y?0}?1?0.1?0.9
（3）P{X?Y}?P{X?Y?0}?P{X?Y?1}?P{X?Y?2}=0.1+0.2+0.3=0.6
P{X?Y?2}?P{X?0,Y?2}?P{X?1,Y?1}?P{X?2,Y?0}?0.28
15,设随机变量（X，Y）的联合概率密度为
?Ce?(2x?4y)，x?0,y?0 f(x,y)??其他0，?试确定常数C，并求P{X解：根据
?2}，P{X?Y}，P{X?Y?1}。
x?0,y?0??f(x,y)dxdy?1，可得
????????1?所以Cx?0,y?0??f(x,y)dxdy??(2x?4y)dy?C?e?2xdx?e?4ydy??dx?Ce0000C8，
?8。
?????(2x?4y)?????2xP{X?2}?x?2??f(x,y)dxdy??dx?8e20x??dy??2e2??dx?4e?4ydy?e?4；
0x???2x?4x?2e(1?e)dx?0P{X?Y}?x?y??f(x,y)dxdy??(2x?4y)dy??dx?8e00?2x?4y?2edx?4edy?002311?x?(2x?4y)11?x?2xP{X?Y?1}?
x?y?1??f(x,y)dxdy??dx?8e00dy??2e0dx?4e?4ydy?(1?e?2)2。
016，设随机变量（X，Y）在由曲线（1） 求（X，Y）的概率密度； （2） 求边缘概率密度
y?x2,y?x2/2,x?1所围成的区域G均匀分布。
fX(x),fY(y)。
f(x,y)必定是一常数，故由
解：（1）根据题意，（X，Y）的概率密度
1x21???f(x,y)dxdy??dxG0x/22?f(x,y)dy??6,(x,y)?G1f(x,y)，得到f(x,y)??。 60，其他? 18
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（2）
?x????6dy?3x2，0?x?1fX(x)??f(x,y)dy??2；
x/2???0,其他?2?2y??6dx，0?y?0.5?y?6(2y?y)，0?y?0.5???1??fY(y)??f(x,y)dx???6dx，0.5?y?1??6(1?y)，0.5?y?1
????y??0，其他?0，其他??
18，设X,Y是两个随机变量，它们的联合概率密度为
?x3f(x,y)???x(1?y)?2e，x?0,y?0，
??0，其他（1） 求(X,Y)关于X的边缘概率密度fX(x)；
（2） 求条件概率密度fY|X(y|x)，写出当x?0.5时的条件概率密度；
（3） 求条件概率P{Y?1|X?0.5}。
?????x32?x(1?y)x?x解：（1）
fdy????2edy?2e,x?0X(x)???f(x,y)。 ??0?0,其他（2）当x?0时，
f?f(x,y)?xe?xy,y?0Y|X(y|x)fx)??。 X(?0,其他特别地，当x?0.5时
f)???0.5e?0.5y,y?0Y|X(y|x?0.5。 ?0,其他????（3）P{Y?1|X?0.5}??f?0.5yY|X(y|x?0.5)dy?dy?e?0.5。
1?0.5e1
19，（1）在第14题中求在X?0的条件下Y的条件分布律；在Y?1的条件下X的条件分布律。（2）在16题中求条件概率密度
fY|X(y|x)，fX|Y(x|y)，fX|Y(x|0.5)。
19
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解：（1）根据公式P{Y?i|X?0}?P{Y?i,X?0}，得到在X?0的条件下Y的条件分布律
P{X?0}为
Y 0 1 2 P{Y|X?0} 5/12 1/3 1/4 类似地，在Y?1的条件下X的条件分布律为 X 0 1 2 P{X|Y?1} 4/17 10/17 3/17 （2）因为
f(x,y)???6,(x,y)?G。 ?0，其他?x2f??6dy?3x2，0?x?1??6(2y?y)，0?y?0.5X(x)???x2/2；fY(y)??6(1?y)，0.5?y?1。?0,其他??0，其他?所以，当0?x?1时，
ff(x,y)?2Y|X(y|x)?2,x2/2?y?x2f??x；
X(x)??0,其他当0?y?0.5f?f(x,y)??1时，
,y?x?2yX|Y(x|y)f(y)??；
?2y?yY?0,其他当0.5?y?1时，
ff(x,y)??1,y?x?1X|Y(x|y)?f(y)??；
?1?yY?0,其他?1当
y?0.5时，
f(x|y)???,0.5?x?1X|Y。
?1?0.5?0,其他
20，设随机变量（X，Y）在由曲线
y?x2,y?x所围成的区域G均匀分布。
（1） 写出（X，Y）的概率密度； （2） 求边缘概率密度fX(x),fY(y)；
（3） 求条件概率密度
fY|X(y|x)，并写出当x?0.5时的条件概率密度。
20
