数列求和方法总结
1 直接求和
适用于等差数列或等比数列的求和（指前n项和）问题,在四个量a1,d（或q）, n,an中,已知三个量时,可以求出Sn来,我们简称为“知三求和”问题.它们的求和问题可以直接利用求和公式解决.
等差数列前n项和公式：已知a1,n,an时,利用公式
Sn?n?a1?an?求和； 2n?n?1?d求和. 2 已知a1,d,n时,利用公式Sn?na1? 等比数列前n项和公式：已知a1,n,q时,利用公式
a11?qnSn?(q?1)求和；
1?q已知a1,q,an时,利用公式Sn???a1?anq(q?1)求和. 1?q??1?111例1 1??????n?1.
2482n?1 此式可看为一个等比数列的前n项和,且此等比数列首项为11,公比为?,故可直接运用等比数列前n项和公式
2a1(1?qn) (q?1) 求和. Sn?1?q(?1)n1?n2?(?1)n?2??1?n?. 解 Sn?13?2?1?2例2 一个等差数列的前n项和等于m,前m项和等于n（其中m?n）,试求这个数列的前m?n项和.
根据等差数列前n项和公式运用所需的条件最好先求出数列
n?n?1?d求和. 首项a1与公差d,然后运用Sn?na1?2 解 设这个数列的首项为a,公差为d,根据已知条件,有
n(n?1)?na?d?m????(1)??2 ?
?ma?m(m?1)d?n????(2)?2?mnd?(n?1)?(m?1)?=m2?n2. 22(m?n). 因为n?m,所以d??mn ?1??m??2??n得
m2?mn?n2?m?n 由此得 a?，
mn 于是,这个数列的前m?n项和为
?m?n??m?n?1?d
Sm?n??m?n?a?2
?m2?mn?n2?m?nn?m?12?m?n??????m?n???
mn2mn?? ???m?n?.
2 转化求和
适用于不是等差数列或等比数列,不便直接求其前n项和的数列. 2.1倒序相加法
将Sn?a1?a2???an与Sn?an?an?1???a1两式相加,如果得到一个常数列,其和为A,那么Sn?A. 2例时
3,
已知f?x?满足x1,x2?R,当x1?x2?1f?x1??f?x2??12,若
?1??2??n?1?Sn?f?0??f???f?????f???f?1?,n?N,求Sn.
nnn?????? 由f?x1??f?x2??0?1?1?1知只要自变量x1?x2?1即成立,又知21n?1??1,?,则易求Sn. nn?1??2??n?1? 解 因为Sn?f?0??f???f?????f???f?1?, ①
nnn???????n?1? 所以Sn?f?1??f??????n??1?f???f?0?. ② ?n? ①+②,得
??1??n?1?? 2Sn??f?0??f?1????f???f???????f?1??f?0??
nn??????n?1个???????11111???????n?1?.所以Sn?(n?1).
42222 2.2错项相减法
如果数列?an?bn?中的?an?和?bn?分别是等差数列和等比数列且等比数列公比为q(q?1),那么Sn?a1b1?a2b2???anbn与
qSn?a1b2?a2b3???anbn?1两式“错项相减”可以求出Sn. 例4求和：1?2n?2?2n?1?3?2n?2???n?2??n?1??1. 数列2n,2n?1,2n?2,?,2,1与1,2,3,?,n,n?1 分别是等比数列
（q?1）与等差数列（d?1）,可考虑用“错项相减法”求和. 2解令Sn?1?2n?2?2n?1?3?2n?2???n?2??n?1??1 ① 则
11Sn? 1?2n?1?2?2n?2???(n?1)?2?n?1＋?n?1?? ② 2211 ①-②,得Sn?2n?2n?1?2n?2???2?1??n?1?
221?20?21???2n?1?2n??n?1?
22n?1?1n?1?? 2?12?2n?1?n3?. 22 则Sn?2n?2?n?3.
3 裂项求和
将数列的每一项分裂成两项之差,如果求数列的前n项和时,除首尾若干项外,其余各项可以交叉相消.
n个5????? 例6求Sn?5?55?555???555?5
n个5n个9?????5?????5此数列an?555?5?(999?9)?(10n?1)故知拆项后是一
99个等比数列.
n个5n个9?????5?????5解 因为an?555?5?(999?9)?(10n?1),
99555(10?1)?(102?1)???(10n?1) 9995 ?(10?102???10n?n)
9所以Sn??5?10(10n?1) ???n?
9?10?1?50(10n?1)5?n. ?81911111????< ?3?1!4?2!5?3!102?100!2 此为分数数列求和问题,仍然用裂项求和法,难点在于分母出现了阶乘,为此,需将数列的第k项作一些恒等变形,以便将其分裂为两项之差.
例7 求证
因为
1k?111??? （k?1,2,?,100）
(k?2)?k!(k?2)!(k?1)!(k?2)!1111???? ?3?1!4?2!5?3!102?100!11111111?) ?(?)?(?)?(?)???(2!3!3!4!4!5!10!110!2111 ??<.
2!102!2 所以
