22．（10分）（2016?南通模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线x+y﹣2=0在矩阵A=对应的变换作用下得到的直线仍为x+y﹣2=0，求矩阵A的逆矩阵A． 【考点】逆变换与逆矩阵．
【专题】计算题；转化思想；综合法；矩阵和变换． 【分析】在直线x+y﹣2=0上取两点M（2，0），M（0，2）． 在矩阵M，N对应的变换作用下分别对应于点M′，N′．推导出M′、N′的坐标，由题意，M′、N′在直线x+y﹣2=0上，
﹣1
列出方程组求出A=，由此能求出矩阵A的逆矩阵A．
﹣1
【解答】解：在直线x+y﹣2=0上取两点M（2，0），M（0，2）．M，N在矩阵M，N对应的变换作用下分别对应于点M′，N′． ∵
==
，∴M′的坐标为（2，2b）； ，∴N′的坐标为（2a，4）．
由题意，M′、N′在直线x+y﹣2=0上， ∴
．
解得a=﹣1，b=0． ∴A=
，
∵→→．
∴A=
﹣1
．
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲] 23．（2015?淮安模拟）已知直线l：
（t为参数）经过椭圆C：
（φ
为参数）的右焦点F． （Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|?|FB|的最大值与最小值． 【考点】参数方程化成普通方程． 【专题】选作题；坐标系和参数方程． 【分析】（Ⅰ）椭圆的参数方程化为普通方程，可得F的坐标，直线l经过点（m，0），可求m的值； （Ⅱ）将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，利用参数的几何意义，即可求|FA|?|FB|的最大值与最小值．
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【解答】解：（Ⅰ）椭圆的参数方程化为普通方程，得，
∴a=5，b=3，c=4，则点F的坐标为（4，0）． ∵直线l经过点（m，0），∴m=4．…（4分）
222
（Ⅱ）将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，并整理得：（9cosα+25sinα）t+72tcosα﹣81=0．
设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则 |FA|?|FB|=|t1t2|=
当sinα=0时，|FA|?|FB|取最大值9； 当sinα=±1时，|FA|?|FB|取最小值
[选修4-5：不等式选讲]
24．（2016?南通模拟）已知a，b，c均为正数，且a+2b+3c=9．求证：【考点】不等式的证明．
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．
．…（8分）
．…（10分）
++≥．
【分析】由a，b，c均为正数，运用柯西不等式可得（a+2b+3c）（+
+
），
2
++）≥（
化简整理，结合条件即可得证．
【解答】证明：由a，b，c均为正数，运用柯西不等式可得： （a+2b+3c）（
2
++）≥（++）
2
=（++）=1， 由a+2b+3c=9，可得
+
+
≥，
当且仅当a=3b=9c，即a=，b=，c=时，等号成立．
解答题
25．（10分）（2016?南京三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过M的直线与抛物线交于A，B两点．设A（x1，y1）到准线l的距离为d，且d=λp（λ＞0）．
（1）若y1=d=1，求抛物线的标准方程； （2）若
+λ
=，求证：直线AB的斜率为定值．
2
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【考点】抛物线的简单性质．
【专题】函数思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由题意可知x1=1﹣，A点坐标为（1﹣，1），将A点坐标代入抛物线方程求得p的值，写出抛物线的标准方程；
（2）直线AB过M（﹣，0），设直线AB的方程为y=k（x+），代入抛物线方程y=2px，消去y，整理得
，
+λ
=，可知，
，解出x1、x2，将d=x1+，代入d=λp，得
，将x1、x2代入，即可解得
2
，可证直线AB的斜率为定值．
【解答】解：（1）由条件知，x1=1﹣，则A点坐标为（1﹣，1），代入抛物线方程得p=1， ∴抛物线方程为y=2x，
（2）证明：设B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x+）， 将直线AB的方程代入y=2px，消去y得：
2
2
，
解得：x1=∵d=λp， ∴+λ
=，
，
，x2=
．
，
∴p=x2﹣x1=∴
，
，
∴直线AB的斜率为定值．
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26．（10分）（2015?淮安模拟）在自然数列1，2，3，…，n中，任取k个元素位置保持不动，将其余n﹣k个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为P（． nk）（1）求P3（1） （2）求
P4（k）；
（3）证明
kPn（k）=nPn﹣1（k），并求出kPn（k）的值．
【考点】数列的求和．
【专题】等差数列与等比数列． 【分析】（1）数列1，2，3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3，即可得出； （2）类比（1）即可得出；
（3）：把数列1，2，…，n中任取其中k个元素位置不动，则有新排列，并且使其余n﹣k个元素都要改变位置，则
种；其余n﹣k个元素重
，可得
，利用，即可得出．
【解答】（1）解：∵数列1，2，3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3， ∴P3（1）=3； （2）解：
=
；
（3）证明：把数列1，2，…，n中任取其中k个元素位置不动，则有素重新排列，并且使其余n﹣k个元素都要改变位置，则有
种；其余n﹣k个元
，
故，
又∵，
∴．
令
，则an=nan﹣1，且a1=1．
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于是a2a3a4…an﹣1an=2a1×3a2×4a3×…×nan﹣1， 左右同除以a2a3a4…an﹣1，得an=2×3×4×…×n=n! ∴
．
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参与本试卷答题和审题的老师有：sllwyn；涨停；yhx01248；whgcn；zlzhan；qiss；maths；沂蒙松；w3239003；双曲线；sxs123；刘长柏；394782；铭灏2016（排名不分先后） 菁优网
2016年11月9日
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