万有引力定律与天体运动
【教学要求】
1．理解万有引力定律，知道其内容及适用条件； 2．会运用万有引力定律分析有关天体运动问题。 【知识再现】 一、开普勒定律 1．开普勒第一定律
所有的行星围绕太阳运动的轨道都是________，太阳处在所有椭圆的_____________． 2．开普勒第二定律
对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等． 3．开普勒第三定律
所有行星的轨道的___________跟___________的比值都相等，即__________． 二、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都是_________ 的，引力的大小跟这两个物体的_______成正比，跟它们的___________成反比． 2．表达式：_______________ 其中G=6．6 7×10—11N·m2/kg2，叫引力常量．
3．适用条件：严格地说，公式只适用于质点间的相互作用．当两个物体间的距离远大于物体的大小时，公式也可以使用。对于均匀的球体，r是两球心间的距离。 4．应用：
（1）天体质量M、密度ρ的估算：
232 测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T，由GMm?m4?r得M=4?r，
222rTGTρM?V?M43?R3?_________，R为天体的半径。
当卫星沿天体表面绕天体运行时，r=R，则ρ=_________。 （2）发现未知天体 知识点一万有引力定律的适用条件 万有引力定律适用于计算质点间的引力．具体有以下两种情况：①两物体间的距离远远大于物体本身的线度，两物体可视为质点，例如行星绕太阳的旋转；②两个均匀的球体间，其距离为两球心的距离。 【应用1】如图所示，阴影区域是质量为M、半径为R的球体挖去一个小圆球后的剩余部分．所挖去的小圆球的球心o′和大球体球心间的距离是R/2．求球体剩余部分对球体外离球心o距离为2R、质量为m的质点P的引力。
导示: 将挖去的球补上，
则完整的大球对球外质点P的引力：F?GMm?GMm
122(2R)4R半径为R/2的小球的质量：
4R4RM1
M???()3???()3?M32324?R383补上的小球对质点P的引力：F?GM?m?G4M?m?GMm
2222(5R/2)25R50R因而挖去小球的阴影部分对P质点的引力：F?F1?F2?GMm?GMm?G23Mm
2224R50R100R
- 1 -
答案： G23Mm
2100R万有引力定律只适用于两个质点间的作用，只有对均匀球体，才可将其看作是质量全部集
中在球心的一个质点。
知识点二万有引力与重力的关系 地面附近的物体由于受到地球的吸引而产生的力叫做重力。对于放在地面上的物体从效果上讲，万有引力使物体压紧地面的力就是我们所说的重力。由此可以看出重力是由于万有引力产生的，但严格地讲物体的重力并不等于地球对物体的万有引力。因为地球围绕地轴自转，地球表面上的物体就随地球在围绕地轴做匀速圆周运动，而所需的向心力也是由万有引力来提供，因而重力只是地球对物体万有引力的一个分力，另一个分
力提供物体绕地轴做圆周运动的向心力，如图所示。因为地球上的所有物体的角速度相同，所以物体随地球做圆周运动的向心力F向=mω2r随纬度变化而变化，从赤道到两极不断减小。在赤道处，物体的万有引力F以及分解的向心力F向和重力mg刚好在一条直线上，有F=F向+mg，所以mg=F-F向=GMm?m?自2R，
r2因为地球自转角速度ω自很小，即：GMm??m?自2R所以认为万有引力等于重力即GMm?mg(一般情况下不
r2R2考虑自转带来的影响)；但是假设自转加快，即ω自变大，由mg=F-F向=GMm?m?自2R 知物体的重力将变
2r小。当GMm?m?自2R的时候，万有引力全部充当向心力，即不再有挤压地面的效果，亦即mg=0，也就没
r2有重力一说了。
【应用2】地球赤道上有一物体随地球一起自转做圆周运动，所受的向心力是F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度可忽略)所受的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球同步卫星所受的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3；地球表面重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则 （ ） A．F1=F2>F3 B．a1=a2=g>a3 C．v1=v2=v>v3 D．ω1=ω3<ω2
导示: 题中涉及三个物体，要比较三者有关物理量，可以通过同步卫星作为桥梁。首先比较随地球自转的物体与同步卫星，随地球一起自转物体向心加速度为a1=ω12R，线速度为v1=ω1R，所需向心力为F1=mω12R，地球的同步卫星的向心加速度a3=ω32r，线速度v3=ω3r，所需向心力F3=mω32r，因为r>R、ω1=ω3，所以a1< a3、v1 近地卫星和同步卫星，两者均是万有引力提供向心力，即F向=GMm，同步卫星的轨道半径大于近地卫星 r2的轨道半径，所以F2>F3。根据a=F向/m可得a2=g >a3。又由a=ω2r可知ω3<ω2。而近地卫星的线速度等于第一宇宙速度，即v2=v。 综上所述： F2>F3>F1， a2=g>a3>a1， v2=v>v3 >v1，ω1=ω3<ω2 答案：D 处理该类问题需要区分是地球上随地球一起自转的物体还是绕地球转动的人造卫星。如果 是前者则是万有引力的一部分提供向心力，如果是后者则是万有引力提供向心力。 类型一天体质量和密度的计算 【例1】宇航员在月球表面附近自h高处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L．已知月球半径为R，若在月球上发射一颗卫星，使它在月球表面附近绕月球作圆周运动．若万有引力恒量为G，求： - 2 - （1）该卫星的周期； （2）月球的质量。 导示: （1）设月球表面附近的重力加速度为g月 对做平抛的小球： 竖直方向 h?1g月t2 ① 2水平方向 L=v0t ② 4?2 ③ mg月?m2RT由①②③解得T =?L2Rh v0h2（2）由①②解得：g月?2hv0 L2又：GMm?mg月 R222解得：M?2hv0R 2GL计算天体质量的方法 (1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。 GMm?mg故M=gR2/G 2R (2)利用环绕天体：应知环绕天体的周期T（或线速度v）和卫星的轨道半径r 232 GMm?m4?r得M=4?r 222rTGT类型二双星(三星)问题 两颗靠得很近且间距不变，绕同一中心做匀速圆周运动的星称为双星。解决双星问题应该从两点入手：第一，两星之间的万有引力提供了它们做匀速圆周运动的向心力；第二，两星绕同一点做圆周运动，且它们的角速度相等。 【例2】在天体运动中，将两颗彼此距离较近，且相互绕行的行星称为双星。已知两行星质量分别为M1和M2，它们之间距离为L，求各自运转半径和角速度为多少? 导示:双星之间有相互吸引力而保持距离不变，则这两行星一定绕着两物体连线上某点做匀速圆周运动，设该点为o，如图所示，MloM2始终在一直线，Ml和M2角速度相等，它们之间万有引力提供向心力。 对M1：GM1M2?M1?2R 2L对M2：GM1M2?M2?2(L?R) 2L联立得：R?M2L M1?M2ω=G(M1?M2)/L3 双星问题中，万有引力表达式中的r应该是两星之间的距离，而不是轨道半径。这一点特 别需要引起注意。 类型三比值类问题 - 3 - 【例3】（2007年广东卷）土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动。其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心距离分别为rA＝8.0×104 km和rB＝1.2×105 km。忽略所有岩石颗粒间的相互作用。（结果可用根式表示） （1）求岩石颗粒A和B的线速度之比； （2）求岩石颗粒A和B的周期之比； （3）土星探测器上有一物体，在地球上重为10 N，推算出他在距土星中心3.2×105 km处受到土星的引力为0.38 N。已知地球半径为6.4×103 km，请估算土星质量是地球质量的多少倍？ 导示: （1）设土星质量为M0，颗粒质量为m，颗粒距土星中心距离为r，线速度为v，根据牛顿第二定律 2和万有引力定律：GM0m?mv解得：v?GM0 2rrr对于A、B两颗粒分别有：v?GM0和v?GM0得： vA?6 ABrArBvB2（2）设颗粒绕土星作圆周运动的周期为T，则： T=2πr/v 对于A、B两颗粒分别有： T?2πrA和T?2πrB 得： TA?26 ABvAvBTB9（3）设地球质量为M，地球半径为r0，地球上物体的重力可视为万有引力，探测器上物体质量为m0，在 地球表面重力为G0，距土星中心r0/＝3.2×105 km处的引力为G0/，根据万有引力定律： G0?GMm0和/GM0m0 G0?2r0/2r0解得：M0/M=95 比值类问题是天体运动这一章较为常见的题型。这类问题具有一个较为明显特征：题目常 会出现两组天体系统，而且遵循相同的规律。求解该类问题只需找出某组系统的规律就行，同理可得另外 一组的规律，然后再利用比例关系求解。 天体运动试题精编 一． 不定项选择题 1．2008年9月25日我国成功发射了“神舟七号”飞船，关于“神舟七号”飞船的运动，下列说法中正确的是（ ） （A）点火后飞船开始做直线运动时，如果认为火箭所受的空气阻力不随速度变化，同时认为推力F（向后喷气获得）和重力加速度g不变，则火箭做匀加速直线运动 （B）入轨后，飞船内的航天员处于平衡状态 （C）入轨后，飞船内的航天员仍受到地球的引力作用，但该引力小于航天员在地面时受到的地球对他的引力 （D）返回地面将要着陆时，返回舱会开启反推火箭，这个阶段航天员处于超重状态 2．2007年9月24日，“嫦娥一号”探月卫星发射升空，实现了中华民族千年 月的梦想。“嫦娥一号”沿圆形轨道绕月球飞行的半径为R，国际空间站沿圆形轨道绕地球 速圆周运的半径为4R，地球质量是月球质量的81倍，根据以上信息可以确定 （ ） A．国际空间站的加速度比“嫦娥一号”的加速度小 B．国际空间站的速度比“嫦娥一号”的加速度大 C．国际空间站的周期比“嫦娥一号”的周期长 D．国际空间站的角速度比“嫦娥一号”的角速度小 - 4 - 3．关于恒星下列说法中正确的是( ) A．恒星的寿命与它的质量有关，质量越大，恒星的寿命就越长 B．太阳是宇宙中最大的恒星 C．恒星最终一定会变成黑洞 D．太阳是离地球最近的恒星 4．以下涉及物理学史上的四个重大发现，其中说法正确的有（ ） A．卡文迪许通过扭秤实验，测定出了万有引力恒量 B．牛顿根据理想斜面实验，提出力不是维持物体运动的原因 C．安培通过实验研究，发现了电流周围存在磁场 D．法拉第通过实验研究，总结出法拉第电磁感应定律 5．1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为16km。若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球相同，已知地球半径R=6400 km，地球表面重力加速度为g．这个小行星表面的重力加速度为（ ） A．400g B．1g C．20g D．1g 40020 二．填空、实验题 1．一物体从某一行星（星球表面不存在空气）表面竖直向上抛出。从抛出时开始计时，得到如图所示的S-t图象，则该物体抛出后上升的最大高度为 m，该行星表面重力加速度大小为 m/s，。 2 S/m 15 12 9 6 3 0 2 4 6 8 t/s 2．科学家通过天文观测发现太阳系外有一恒星，并测得有一行星绕该恒星一周的时间为1200年，行星与恒星的距离为地球到太阳距离的100倍。假定该行星绕恒星的公转轨道和地球绕太阳的公转轨道都是圆周，则该行星与地球的公转速度之比为 ，该恒星与太阳的质量之比为 。 （杨浦高级中学）3．在地球表面圆轨道运行的人造地球卫星，绕行一周所用的时间为T，那么地球的密度是 ，若地月的密度之比约为5∶3，则卫星在月球表面绕行一周需要的时间是 。（万有引力恒量用G表示。球体体积公式4πR3/3，其中R为球体半径） 3．如图所示，A为静止于地球赤道上的物体，B为绕地球做椭圆轨道运行的卫星，C为绕地球做圆周运动的卫星，P为B、C两卫星轨道的交点．已知A、B、C绕地心运动的周期相同．相对于地心，卫星C的运行速度 物体A的速度，卫星B在P点的运行加速度大小 卫星C在该点运行加速度。（填大于、小于或等于） 三．计算题 1．月球中心到地球中心的距离大约是地球半径的60倍，如果地球表面的重力加速度为9.8 m/s2，地球半径R＝6.37?106 m。试求： （1）地球的引力使月球具有的加速度； - 5 - B P A C （2）月球绕地球做匀速圆周运动的线速度。 2．宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为m。 （1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。 （2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？ 3．中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，它的自转周期为T=1/30s。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。(引力常数G=6.67×1 0-11N·m2/kg2) - 6 -
