22.2 降次——解一元二次方程 达标训练
一、基础·巩固·达标
1．将下列方程各根分别填在后面的横线上：
（1）x2=169, x1= ，x2= ; （2）45－5x2=0, x1= ，x2= .
2.填空：（1）x2+6x+（ ）＝（x+ ）2；（2）x2－8x+（ ）＝（x－）2；
（3）x2+
3x+（ ）＝（x+ ）2. 23.方程x2+6x－5=0的左边配成完全平方后所得方程为（ ）
A.（x+3）2=14 B.(x－3)2=14 C.(x+6)2=12 D.以上答案都不对 4.用配方法解下列方程，配方错误的是（）
7265)= 24210C.x2+8x+9=0，化为（x+4）2=25 D.3x2－4x－2=0，化为(x－)2=
39A.x2+2x－99=0，化为（x+1）2=100 B.t2－7t－4=0，化为 (t－5.方程2x2－8x－1=0 应用配方法时，配方所得方程为 . 6.如果x2－2(m+1)x+m2+5=0是一个完全平方公式，则m . 7.当m为 时，关于x的方程(x－p)2+m=0有实数解. 8.解下列方程：
（1）9x2=8； （2）9(x+
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12
)=4； （3）4x2+4x+1=25. 3二、综合·应用·创新 9．用配方法解下列方程：
（1）x2+x－1=0； （2）2x2－5x+2=0； （3）2x2－4x+1=0.
10．（1）用配方法证明2x2－4x+7恒大于零；
（2）由第（1）题的启发，请你再写出三个恒大于零的二次三项式.
三、回顾·热身·展望
11．解一元二次方程：（x－1）2=4.
12．用配方法解方程：x2－4x+1=0.
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参考答案
一、基础·巩固·达标
1．将下列方程各根分别填在后面的横线上：
（1）x2=169, x1= ，x2= ; （2）45－5x2=0, x1= ，x2= . 提示：利用直接开平方法解题，其中方程（2）化为x2=9. 答案：（1）13－13 （2）3 －3
2.填空：（1）x2+6x+（ ）＝（x+ ）2；（2）x2－8x+（ ）＝（x－）2；
（3）x2+
3x+（ ）＝（x+ ）2. 2提示： 本题思考的方法有两点：其一，看二次项系数是否为1，若是1，配方时，只需加上一次项系数一半的平方即可，如（1）左边加9，配成 x与3和的完全平方；其二，若二次项系数不是1 时，为便于配方，要先提取二次项系数，使括号内首项为1. 答案：（1）9 3 （2）16 4 （3）
39 4163.方程x2+6x－5=0的左边配成完全平方后所得方程为（ ）
A.（x+3）2=14 B.(x－3)2=14 C.(x+6)2=12 D.以上答案都不对 提示：配方法解一元二次方程时，为便于配方，要化二次项系数为1；同时两边各加上一次项系数一半的平方，注意勿忘加上右边的项.移项，得x2+6x=5 ，两边各加上9，得x2+6x+9=5+9.即（x+3）2=14. 答案：A
4.用配方法解下列方程，配方错误的是（）
7265)= 24210C.x2+8x+9=0，化为（x+4）2=25 D.3x2－4x－2=0，化为(x－)2=
39A.x2+2x－99=0，化为（x+1）2=100 B.t2－7t－4=0，化为 (t－
提示：A：移项，得x2+2x=99.配方，得x2+x+12=99+12，即（x+1）2=100.所以A项正确.B：移项，得t2－7t=4.配方，得t2－7t+(
727765)=4+()2，即(t－)2=.所以B项2224正确.C：移项，得x2+9x=－9.配方，得x2+8x+42=－9+42，即（x+4）2=7.所以C项错误.D：移项，得3x2－4x=2.二次项系数化为1，得x2－
42x=.配方，得x2－334222210x+()2=+()2，即(x－)2=.所以D项正确. 333339
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答案：C
5.方程2x2－8x－1=0 应用配方法时，配方所得方程为 .
提示：配方前，必须先把二次项系数化为1，同时两边各加上一次项系数一半的平方，整理即可得到所得的方程. 答案：（x+2）2=
9 26.如果x2－2(m+1)x+m2+5=0是一个完全平方公式，则m .
提示：根据完全平方式的特点可知：二次项系数为1时，常数项应是一次项系数一半的平方，因此m2+5= (m+1)2 ，解得m=2. 答案：=2
7.当m为 时，关于x的方程(x－p)2+m=0有实数解.
提示：方程(x－p)2+m=0可变形为(x－p)2=－m.由平方根的定义可知，当－m≥0，即m≤0时原方程有实数解. 答案：小于等于0 8.解下列方程：
（1）9x2=8； （2）9(x+
12
)=4； （3）4x2+4x+1=25. 3提示：根据方程的特点可以选用直接开平方法解方程. 解：（1）x2=
2222228,x=±,x1=,x2=－.
333914121（2） （x+）2=，x???,x1?,x2??1.
93333（3）(2x+1)2=25，2x+1=±5，x1=2，x2=－3. 二、综合·应用·创新 9．用配方法解下列方程：
（1）x2+x－1=0； （2）2x2－5x+2=0； （3）2x2－4x+1=0.
提示：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：（1）移项：使方程左边是二次项和一次项，右边是常数项；（2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；（3）配方：方程两边都加上一次项系数绝对值的一半的平方，把原方程化为（mx+n）2=p的形式；（4）当p≥0时，用直接开平方法解变形后的方程. 解：（1）移项，得x2+x=1. 配方，得x2+x+??2=1+
?1??2?115，即(x+)2= . 424- 4 -
x?15?1?5?1?5??.x1,x2?.. 2222（2）移项，得2x2－5x=－2. 二次项系数化为1，得x2－
5x=－1. 225?95?5??5??配方，得x－x+??2=－1+??2，即?x???.
4?162?4??4??2
x?532?22?2. ??,x1?,x2?4422（3）移项，得2x2－4x=－1.
二次项系数化为1，得x2－2x=－ 12. 配方，x2－2x+12=－ x?1??121+1,即(x－1)2=. 222222?2. ,x1?,x2?22210．（1）用配方法证明2x2－4x+7恒大于零；
（2）由第（1）题的启发，请你再写出三个恒大于零的二次三项式.
（1）可用配方法将2x2－4x+7配成一个完全平方式与某个正数的和的形式；（2）此题答案有很多，只要是一个完全平方式加上一个正数得到的二次三项式均符合题意. 证明：（1）2x2－4x+7=2（x2－2x）+7=2（x2－2x+1－1）+7=2（x－1）2－2+7=2（x－1）
2
+5.因为2（x－1）2≥0，所以2（x－1）2+5≥5，即2x2－4x+7≥5，故2x2－4x+7恒大于
零.
（2）x2－2x+3；2x2－2x+5；3x2+6x+8等. 三、回顾·热身·展望
11．解一元二次方程：（x－1）2=4.
提示：据方程特点选择直接开平方法解方程比较简便. 解：x－1=±2，x－1=2或x－1=－2，所以x1=3，x2= －1. 12．用配方法解方程：x2－4x+1=0.
提示：根据配方法的步骤先配方再解方程. 解：移项，得x2－4x= －1.
配方，x2－4x+22= －1+22，（x －2）2=3. 由此可得x －2=± 3,x1=2+3,x2=2－3.
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