分别交BC、GE于点B?、A?．
PGPEGE2???, PFPCFC12111∴ PA?=A?B?=AB， GA?=GE=OA，
333311∴ A?O??GE?GA??OA．
26在Rt△PA?O?中，PO?2?PA?2?A?O?2，
由△PCF∽△PEG得，
NCGB'FPA'O'QEBPQ2AB2OA2AOD即 ， 又 AB2?OA2?1， ??4936图③ 122∴ 3PQ?AB?，
314∴ OA2?3PQ2?OA2?(AB2?)?．??????????????18分
33M
2012年北京市初二数学竞赛试题 ．选择题(每小题5分，共25分)
．方程|2x－4|＝5的所有根的和等于( )．
A．－0.5 B．4.5 C．5 D．4
．在直角坐标系xOy中，直线y＝ax＋24与两个坐标轴的正半轴形成的三角形的面积等于72，则不在直线y＝ax＋24上的点的坐标是( )．
A．(3，12) B．(1，20) C．(－0.5，26) D．(－2.5，32)
．两个正数的算术平均数等于23，它们乘积的算术平方根等于3，则期中的大数比小数大( )．A．4
B．23
C．6
D．33 ．在△ABC中，M是AB的中点，N是BC边上一点，且CN＝2BN，连接AN与MC交于点O，四
边形BMON的面积为14cm2，则△ABC的面积为( )．
A．56cm2 B．60cm2 C．64cm2 D．68cm2
121??222．当a＝1.67，b＝1.71，c＝0.46时，a?ac?ab?bcb?ab?bc?acc?ac?bc?ab等于( )．
A．20 B．15 C．10 D．5.55 ．填空题(每小题7分，共35分)
．计算：1×2－3×4＋5×6－7×8＋?＋2009×2010－2011×2012＝＿＿＿．
．由1到10这十个正整数按某个次序写成一行，记为a1，a2，?，a10，S1＝a1，S2＝a1＋a2，?，S10＝a1＋a2＋?＋a10，则在S1，S2，?，S10中，最多能有＿＿个质数． ．△ABC中，AB＝12cm，AC＝9cm，BC＝13cm，自A分别作∠C平分线的垂线，垂足为M，作
∠B的平分线的垂线，垂足为N，连接MN，则
S?AMN?S?ABC＿＿＿＿．
．实数x和y满足x2＋12xy＋52y2－8y＋1＝0，则x2－y2＝＿＿＿． ．P为等边△ABC内一点，AP＝3cm，BP＝4cm，CP＝5cm，则四边形ABCP的面积等于＿＿cm2．
- 36 -
(满分10分)．求证：对任意两两不等的三个数a，b，c，
(a?b?c)2(b?c?a)2(c?a?b)2??(a?c)(b?c)(b?a)(c?a)(c?b)(a?b)是常数．
(满分15分)．已知正整数n可以表示为2011个数字和相同的自然数之和，同时也能表示为2012个数字和相同的自然数之和，试确定n的最小值．
(满分15分)．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠BAC＝70°，P为形内一点，∠PAB＝40°，∠PBA＝20°，求证：PA＋PB＝PC．
2012年全国初中数学竞赛（海南赛区）初 CPAB赛 试 卷 （本试卷共4页，满分120分，考试时间：3月11日8:30——10:30）
一、选择题（本大题满分50分，每小题5分） 1、下列运算正确的是（ ）
A．x?x=x B． 2x?3x=5x C．(x)=x D． x?x=x
2、有大小两种游艇，2艘大游艇与3艘小游艇一次可载游客57人，3艘大游艇与2艘小游艇一次可载游客68人，则3艘大游艇与6艘小游艇一次可载游客的人数为（ ） A．129 B．120 C．108 D．96 3、实数a＝2012－2012，下列各数中不能整除a的是（ ） A．2013 B．2012 C．2011 D．2010
4、如图1所示的两个圆盘中，指针落在每一个数所在的区域上的机会均等，则两个指针同时落在数“1”所在的区域上的概率是（ ）
1 3
236 2236623
图1
5、一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后匀速行驶，过了一段时间，汽车到达下一个车站．乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，下面可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的图象是（ ）
速度 速度 速度 速度
- 37 - O 时间 12624A． B． C． D．
252525252 5 3 4 5 2 3 4 1
O 时间
O 时间
O 时间 A B C D
6、要使3?x?1有意义，则x的取值范围为 2x?1111A．1?x? 3 B．＜x? 3 C．?x＜3 D． ＜x＜3 2222 A 7、菱形的两条对角线之和为L、面积为S，则它的边长为（ ）
D E A．1L2?4S B．1L2?2S C．12L?4S D．14S?L2
2222
8、如图2，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处， C F B 且DE∥BC，下列结论中，一定正确的个数是（ ）
图2
①△CEF是等腰三角形 ②四边形ADFE是菱形
y ③四边形BFED是平行四边形 ④∠BDF+∠CEF＝2∠A
A．1 B．2 C．3 D．4 1 2
9、如图3，直线x＝1是二次函数 y＝ax＋bx＋c的图象的对称轴，则有( ) x A．a＋b＋c＝0 B．b＞a＋c C．b＝2a D．abc＞0
图3 10、铁板甲形状为直角梯形，两底边长分别为4cm，10cm，且有一内角为60°；铁板乙形
状为等腰三角形，其顶角为45°，腰长12cm ．在不改变形状的前提下，试图分别把它们从一个直径为8.5cm的圆洞中穿过，结果是（ ）
A．甲板能穿过，乙板不能穿过 B．甲板不能穿过，乙板能穿过 C．甲、乙两板都能穿过 D．甲、乙两板都不能穿过 二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）
11、x与y互为相反数，且x?y?3，那么x?2xy?1的值为__________. 12、一次函数y=ax+b的图象如图4所示，则化简a?b?b?1得________.
22
y o －1 图4
2x 13、若x=－1是关于x的方程ax+2011ax－2012=0的一个根，则a的值为__________. 14、一只船从A码头顺水航行到B码头用6小时，由B码头逆水航行到A码头需8小时，则一块塑料泡沫从A码头顺水漂流到B码头要用______小时（设水流速度和船在静水中的速度不变）．
15、如图5，边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于E、F，则阴影部分的面积是 ．
16、如图6，直线l平行于射线AM，要在直线l与射线AM上各找一点B和C，使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形，这样的三角形最多能画_______个．
A E A D l
E O B C
M A B D F C 图5 图6 AEB=145°，则∠DBE的度数是图7 ________. 17、如图7，△ABC与△CDE均是等边三角形，若∠
C G D 18、如图8所示，矩形纸片ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm， B＇ D＇ - 38 -
A
E B
图8
把∠B、∠D分别沿CE、AG翻折，点B、D分别落在对角线 AC的点B＇和D＇上，则线段EG的长度是________.
三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)
19、某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要30天完成，如果让乙工程队单独工作，则需要60天方可完成；甲工程队施工每天需付施工费2.5万元，乙工程队施工每天需付施工费1万元.请解答下列问题：
（1）甲、乙两个工程队一起合作几天就可以完成此项工程？
（2）甲、乙两个工程队一起合作10天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，请问共需多少天才能完成此项工程？
（3）如果要使整个工程施工费不超过65万元，甲、乙两个工程队最多能合作几天？ （4）如果工程必须在24天内（含24天）完成，你如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费.
20、如图9，四边形ABCD是矩形，点P是直线AD与BC外的任意一点，连接PA、PB、PC、PD．请解答下列问题：
（1）如图9（1），当点P在线段BC的垂直平分线MN上（对角线AC与BD的交点Q除外）时，证明△PAC≌△PDB；
2222
（2）如图9（2），当点P在矩形ABCD内部时，求证：PA+PC=PB+PD；
（3）若矩形ABCD在平面直角坐标系xoy中，点B的坐标为（1，1），点D的坐标为（5，3），如图9（3）所示，设△PBC的面积为y，△PAD的面积为x，求y与x之间的函数关系式． M
P
A D
Q
B C N
图9（1）
2012年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷参考答案 一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）
- 39 -
A P B D C 图9 （2）
y A D B O 图9（3） C x
题号 答案 1 C 2 D 3 D 4 A 5 C 6 B 7 A 8 B 9 D 10 B 7、提示：可设菱形的两条对角线长分别为a、b，利用对角线互相垂直进行解答. 9、分析:由函数的图象可知:当x=1时有a＋b＋c＜0,当x=-1时有a-b＋c＞0,即a＋c＞b,即b＜a＋c，函数的对称轴为x??b?1，则b＝－2a，因为抛物线的开口向上，所以a＞0，抛物线
2a与y轴的交点在负半轴，所以c＜0，由b＝－2a可得b＜0．所以abc＞0，因而正确答案为D 10、分析：分别计算铁板的最窄处便可知，如图Ａ，直角梯形，AD=4cm，BC=10cm，∠C=60°，过点A过AE//CD，交BC于点E，过点B作BE⊥CD于点F，可求得AB=63cm＞8.5cm，BE=53cm＞8.5cm 铁板甲不能穿过，如图Ｂ，等腰三角形ABC中，
A 顶角∠A=45°，作腰上的高线BD，可求得BD=62cm＜8.5cm， 所以铁板乙可以穿过； 所以选择Ｂ
二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）
11、 ?5 12、a+1 13、 a1=2012, a2=－1 14、48
4D
F A
D
B E C B C A 图Ｂ 图Ａ
E
15、1单位面积 16、3个 17、85° 18、10
4B 17、分析：易证△CEA与△CDB全等，从而有∠DBC=∠EAC，因为，
∠ABE+∠BAE=180°-145°=35°所以有∠EAC+∠EBC=120°-35°=85°， 所以∠EBD=∠EBC+∠DBC=85°
18、分析：AB＝4cm，BC＝3cm，可求得AC=5cm，由题意可知
D C B＇=BC=3cm，A B＇=2cm设BE=x，则AE=4-x，则有(4-x)2-x2 =22,
x=1.5cm，即BE=DG=1.5cm，过点G作GF⊥AB于点F，则 可求出EF=1 cm，所以EG=12?32?10 A C
D
图7 G B＇ D＇ F C
图8
三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)
19、本题满分15分，第（1）、（2）、（3）小题，每小题4分，第（4）小题3分. 解：（1）设甲、乙两个工程队一起合作x天就可以完成此项工程，依题意得：
(11解得：x=20 答：甲、乙两个工程队一起合作?)x?1，3060E B
20天就可以完成此项工程.
（2）设完成这项道路改造工程共需y天，依题意得：1?10?y?1，解得y=40 。
3060答：完成这项道路改造工程共需40天.另：也可列方程：10(1?1)?1(y?10)?1306060
（3）因为甲工程队单独完成工程需2.5×30=75万元，乙工程队单独完成工程需1×60=60万元，要想使施工费尽可能少，甲工程队要少参与，即合作的时间要尽可能少，剩下的由乙单独完成，设甲、乙两个工程队合作a天，则由题意可知乙工程队还需单独做（60-3a）天，得： （1+2.5）a ＋1×（60-3a）≤65
3.5 a＋60-3 a≤65 a≤10 答：甲、乙两个工程队最多能合作10
天.
（4）由题意知，甲、乙两个工程队单独做都不可能在规定时间内完成，必须合作，又甲工程队单独完成工程需2.5×30=75万元，乙工程队单独完成工程需1×60=60万元，75＞60，因而应安排乙工程队在工程期限内尽可能多做，即做满24天。设应安排他们合作m天，由题意可得：
- 40 -
