§3.4 数列的通项与求和
【一线名师精讲】
基础知识串讲:
(一)数列求和的常用方法
1、公式法：利用等差、等比数列的前n项和公式，或几种常见的特殊数列的前n项和公式，求解。如：12?22???n2?2、倒序相加法
如果一个数列?an?中，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和a1?an，可采用把顺次相加的和式(a1?a2???an)与反序相加的和式(an?an?1???a1)直接相加，得到一个常数列的
1、 公式法：若已知数列递推关系中含有前n 项和Sn与通项an，求数列?an?的通项an。可用anan?Sn?Sn?1(n?2)，与Sn的关系式：实现an与Sn的互化，统一为关于an或关于Sn的递推关系再求解，使用时，要注意n=1的特殊情形，而它恰是解题的突破口。
2、叠加(乘)法
若一个数列的前后两项的差或商是一个关于 n 的函数，则可用此法，即：
如果an?1?an?f(n)则
an?a1?(a2?a1)?(a3?a2)???(an?an?1)?a1??f(k)
k?1n?1n(n?1)(2n?1)
6前n项和n(a1?an)，从而求出Sn
3、折项分组法
把数列的每一项拆成两项或几项，重新组合，转化为几个等差、等比数列的和式，然后分别求和，再相加即可求出
4、错项相减法
如果一个数列的通项是由一个等差数列?an?与一个等比数列?bn?的通项的乘积an?bn，那么数列?anbn?(可称为差比数列)的前n项和需要用错项相减法求得。
错项相减法，即把每一项都乘以?bn?的公比
如果
an?1?f(n)，则anan?a1n?1a2a3a?n??f(k) a1a2an?1k?13、待定系数法
通过选择恰当的形式，引入待定的参数，再确 定参数的值。
如：对于递推关系式an?1?pan?q可引入参数
t使an?1?t?p(an?t)，通过计算知t?数列?an?t?是一个等比数列。
4、转化法
q。故 1?pq，向后错位，移一项，然后把对应同次项相减转
化为等比数列求和。即：
(1?q)Sn?a1b1?b1(dq?dq2???dqn?1)?anbnq
通过恰当的恒等变形，如配方、因式分解、取 对数、取倒数等，转化为等差数列或等比数列求解。
5、归纳—猜想—证明
根据条件算出数列的前几项，从中归纳出通项 的一般表达式，形成猜想，然后用数学归纳法加以证明，得到正确的结论，这是一种重要的思维方法，在高考中时隐时现，复习中应引起重视。
近年高考在新课标的理念下，又明显侧重了对逻辑推理、数学方法与综合应用能力的考查。纵观近年高考题，数列解答题往往给出关于an或Sn的递推关系，要求进行逻辑推理，用某些数学方法求出通项，后解决与函数、不等式等知识的综合问题。因此，在复习中要掌握递推的思想，从一般到特殊，从特殊到一般，通过递推实现了矛盾双方的相互转化；要掌握化归转换思想，通过适当的变形，使得一些规律不很明显的数列转化成等差数列或等比
5、裂项相消法：
(这是分解组合思想在数列中的具体应用) 将每一项都拆成两项之差，使其正负抵消，只 余首尾有限几项，即可求和。
????11??适用于数列??，??其中
a?a?an?an?1??n?1??n??an?是等差数列。
如：
1111?(?)
an?an?1danan?11an?an?1?1(an?1?an) d(二)求数列的通项的常用方法
1
数列，达到化陌生为熟悉的目的。通过从通项公式到求和公式，再从求和公式到通项公式；从通项公式到递推公式，再从递推公式到通项公式，实现了知识的迁移与能力的整合。
点评：本题主要考查等比数列的基础知识和基本技能，运算能力。其中Tn的表达式原型是“等差乘等比型”，通用求和方法是错位相减法。
【例2】(2003年上海春)设f(x)?12?2x基本题型指要
◆题型一：求数列的和 【例1】（2000全国高考）设?an?为等比数例，Tn?na1?(n?1)a2???2an?1?an，已知T1?1，T2?4。
，
利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f(?5)?f(?4)???f(0)???f(5)?f(6)的值为 。
思路：题目中提示的推导等差数列前n项和的公式的方法就是倒序相加法，应用倒序相加法的前提是与首末两项等距离的两项之和为定值，故
f(?5)?f(6)?f(?4)?f(5)??，从中发现当自变
（Ⅰ）求数列?an?的首项和公比； （Ⅱ）求数列?Tn?的通项公式。
思路： 已知T1、T2 ，两个等式可求两个基本量a1、q ,将其代入Tn的表达式。针对具体特征：数列?an?为等比数列，而n , n－1 , ? , 2 , 1 成等差数列，常规解法可用错位相减法。若数列?an?特殊，也可考虑其它求和方法。
解析：（Ⅰ）设等比数列?an?的公比为q，则 ∵T1?1,T2?4，
量的和等于1时，其函数值的和相等且为定值。通过计算得f(x)?f(1?x)?求解。
2，然后用倒序相加法21解析：?f(x)?
T1?a1,T2?2a1?a2?a1(2?q)。 2x?21x∴a1?1,q?2。 1 2?f(1?x)???1?x2?22?2?2x（Ⅱ）解析1：由（Ⅰ）知a1?1,q?2，故an?a1qn?1?2n?1,因此，
Tn?n?1?(n?1)?2???2?2n?2?1?2n?1， ?Tn?2Tn?Tn
2?2x2?2x
?f(x)?f(1?x)?1??12?2x?12?212x?12?2x2?212x
?(2?2x)2?2x?2?2x?2 2 ?n?2?(n?1)?22???2?2n?1?1?2n -[n?1?(n?1)?2???2?2n?2?1?2n-1] ??n?2?22???2n?1?2n2-2?21?2 ?-n?2n?1?2 ?-n???(n?2)?2n?1。
n设S?f(?5)?f(?4)???f(6) 则S?f(6)?f(5)???f(?5)
?2S?f(6)?f(?5)?f(5)?f(?4)???f(?5)?f(6)?62 ?S?32
点评：本题体现了“高考试题源于教材，又不拘泥于教材”的命题原则。倒序相加法尽管教材中没有说明，但在等差数列前n项和公式的推导过程中使用了此法。因此，要充分重视和挖掘教材中蕴含的数学思想和数学方法。 ◆题型二：求数列通项 【例3】已知数列?an?中，a1?1，前n项和3解析2：设Sn?a1?a2???an。 由（Ⅰ）知an?2n?1。
∴Sn?1?2???2n?1?2n?1
?Tn?na1?(n?1)a2???2an?1?an ?a1?(a1?a2)???(a1?a2???an?1?an) ?S1?S2???Sn ?(2?1)?(2n-1)???(2n-1)2?2?2n ?(2?2???2)-n??n1?2 ?2n?1?2?n nnSn与an的关系是Sn?n(2n?1)an ，试求通项公式an。
思路：由an?Sn?Sn?1(n?2)将条件关系式转化为数列?an?的递推关系式
an2n?3，用叠乘?an?12n?1 2
法求通项。
解析：首先由Sn?n(2n?1)an易求得递推公式： (2n?1)an?(2n?3)an?1,?an2n?3 ?an?12n?11??4n?2??4n?2???1????1????2??4n?2??4n?2??
11??2n?12n?1?故lim(b1?b2???bn?n)n???an?12n?5a1????2? an?22n?1a15将上面n?1个等式相乘得：
an(2n?3)(2n?5)(2n?7)?3?13??a1(2n?1)(2n?1)(2n?3)?7?5(2n?1)(2n?1)1?an?.(2n?1)(2n?1)
11111??????) 3352n?12n?1n??1?lim(1?)?1.2n?1n???lim(1?点评：(1)已知数列?an?的前n项和Sn与通项an的关系时，最好是先转化为递推公式，然后由递
点评：近年高考中的数列综合题，往往给出一个Sn与an的混合式，利用an?Sn?Sn?1(n?2)进行转化是解决此类问题的突破口，应熟记并灵活应用。
叠乘法曾在教材中推导等比数列的通项公式时使用，属于高考考试范围，应在此基础上拓展延伸。
【例4】设数列?an?是正数组成的数列，其前 n项和为Sn，并且对于所有的自然数n，an与2 的等差中项等于Sn与2的等比中项。
(1)写出数列?an?的前三项。 (2)求数列?an?的通项公式。 (3)令bn?推公式求通项公式。当然，此题也可直接求出前三项，然后猜测通项公式，并用数学归纳法证明。
(2)本题的数列求和采用的是裂项求和法。 ◆题型三：数列通项的实际问题 【例4】某城市2001年末汽车保有量30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少万辆？
思路：此题不能直接建立等差或等比数列模型求解，应仔细分析第n年与第n?1年的汽车保有量之间的关系，易用第n年的汽车保有量来表示第
a1an?1(?n)(n?N)，求2anan?1n?1年的汽车保有量，建立数列的递推关系，转化
为由递推公式求通项公式的数列基本问题。
解析：根据“预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同”建立关系.
设2001年末汽车保有量为b1万辆，从2001年开始计算第n年末的汽车保有量为bn万辆，每年新增汽车x万辆.
lim(b1?b2???bn?n)。
n??思路：结合等差、等比中项的定义，建立an与Sn的关系式，可赋n以1,2,3求其前三项，可
转化为递推关系式，求通项。代入得bn，求它的前n项和，从而求得极限。 解析：(1)由题意：
an?21?2Sn?Sn?(an?2)2 281(an?1?2)281?an?Sn?Sn?1??an?2?2??an?1?2?28?(an?an?1)(an?an?1?4)?0, ?an?0?an?an?1?4?Sn?1??bn?0.94?bn?1?x(n?2)5050x?0.94?(bn?1?x),33 50?{bn?x}是公比q?0.94的等比数列35050?bn?x?0.94n?1?(30?x),33?bn?①当30?50x?0,即x?1.8时，数列{bn}单调3???a1?2,a2?6,a3?10.递减，此时bn?b1?30?60，显然满足条件；
②当30?递增，
50x?0,即x?1.8时，数列{bn}单调3(2)?an?an?1?4,?an?a1?(n?1)4?4n?2。 (3)?bn?1?a1an?1(?n)?12anan?1 3
?limbn?n??50x?60?x?3.6（万辆）. 3 a3－a1=3+(－1).
所以(a2k+1－a2k－1)+(a2k－1－a2k－3)+?+(a3－a1) =(3k+3k1+?+3)+[(－1)k+(－1)k1+?+(－1)],
－
－
综上，每年新增汽车数量不应超过3.6万辆. 点评：本题的解答中，由建立的递推关系经过变换得到一个等比数列，解题过程简洁、严密.该问题也可以由得到的递推关系，然后逐步计算出a2、a3、?、从而得到an的公式.
①解题关键点：将实际问题抽象成数学问题，并将数列{an}经变形后转化为等比数列{an-4x}．
②解题技巧：化陌生的数列为基本数列，是我们常用的化归手段之一．
③解题易错点：翻两番不是两倍，而是原来的4倍．又如翻三番应为原来的8倍．另外，还容易搞错数列的项数，是19项、20项？还是21项？
④本题的数列的通项的求法是待定系数法。
由此得a2k+1－a1=
3k1(3－1)+[(－1)k－1], 223k?11 于是a2k+1=?(?1)k?1.
22 a2k3k1?a2k?1?(?1)??(?1)k?1?1?(?1)k
22k=
3k1?(?1)k?1 22?an?的通项公式为：
当n为奇数时，an=
n?132n?1?(?1)22n32?1?1; 2【阅卷老师评题】
【例6】（2004年全国高考题）已知数列{an}a2k?1?a2k?3k, 中，a1?1且a2k?a2k?1 ?(?1)k，
当n为偶数时，an?2n?(?1)2?1?1. 2 点评：教材中等差数列的通项公式的推导方法
就是叠加法，因此在高考中考查的频率较高，复习时应予以重视。
【例7】（2003年北京市高考试题）已知数列?an?是等差数列，且a1?2,a1?a2?a3?12. （Ⅰ）求数列?an?的通项公式；
（Ⅱ）令bn?anxn(x?R).求数列?bn?前n项和的公
命题目的：本小题主要考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力
考情分析：本题需用错位相减法求和，考生不能从通项公式去分析，或者知道解法不能坚持运算，导致半途而废，失分较多。
数列?bn?是由等差数列?an?和“等比型”的数列?xn?对应项的乘积组成的数列，一般不容易直接求出它的前n项的和．
观察Sn?2x?4x2?6x3???(2n?2)xn?1?2nxn, 当x?0时，两边同乘以x,使上式右边的每一项错位：xSn?2x2?4x3?6x4???(2n?4)xn?1?(2n?2)xn?2nxn?1,以上两式左、右两边分别相减，转化成等比数列求和．
解析：（Ⅰ）设数列{an}公差为d，则
a1?a2?a3?3a1?3d?12,又a1?2,d?2.所以
其中k?1,2,3,?
（I）求a3, a5；
（II）求{ an}的通项公式.
命题目的：本小题主要考查数列，等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.
考情分析：本题解决的关键在于由递推关系求通项，所用方法为常见的叠加法，但要分奇数、偶数两种情形，考生未曾遇见，而感到茫然，不能将所学知识灵活应用。得分不高。
思路：由a2k?a2k?1?(?1)，a2k?1?a2k?3可知数列的相邻两项之差是关于k的函数，适用叠加法求通项。
解析：（I）a2=a1+(－1)1=0,
a3=a2+3
1
kk思路：容易求得数列?an?的通项公式an=2n.
=3.
a4=a3+(－1)2=4, a5=a4+32=13, 所以， a3=3,a5=13. (II) a2k+1=a2k+3
= a2k－1+(－1) 所以a2k+1－a2k－1=3
k
kk
+3,
kk－1
k
+(－1), +(－1)
,
同理a2k－1－a2k－3=3 ??
k－1
an?2n.
（Ⅱ）令Sn?b1?b2???bn,则由
4
bn?anxn?2nxn,得
Sn?2x?4x2??(2n?2)xn?1?2nxn,① xSn?2x2?4x3???(2n?2)xn?2nxn?1, ②
当x?1时，①式减去②式，得 (1?x)S2n?2(x?x??xn)?2nxn?1(?)?2x(1?xn)?
?x2nxn?11,nn?1所以S2x(1?x)n?(1?x)2?2nx1?x. 当x?1时, Sn?2?4???2n?n(n?1)(??) 综上可得当x?1时,Sn?n(n?1)
2x(1?xn)n?1当x?1时，Sn?(1?x)2?2nx1?x. 点评：“错位相减法”是数列求和的又一重要方法，适用于等差数列和“等比型”的数列对应项的乘积组成的数列求和．解答本题应注意两点：第一、3、虽然x=0时不影响答案，但在（*）中的x?x2???xn，按等比数列求和，应满足公比
x?0．由此可见，对x=0的情形进行讨论是必要
的．第二、不能进行正确分类思考，对（**）疏漏，是考生答题时的普遍错误．
【好题优化训练】
4、
基础巩固
1、 数列?a1n?中，an?n?n?1 ，若Sn?99 ，
则n等于( )
(A) 9 (B)10 (C) 99 (D) 100
答案：(A) 解析：a1n?n?n?1?n?1?n
Sn?a1?a2???an5、?(2?1)?(3?2)???(n?1?n)
?n?1?1?99?n?9
2、 数列?ann?满足an?an?1?an?1?(?1)(n?2)且
5
a1?1,则
a5a等于（ ） 3(A)
1615 (B) 43 (C) 183 (D) 3 答案：(B)
解析：当n?2时，a22a1?a1?(?1)，a2?2
当n?3时，a13a2?a2?(?1)3，a3?2 当n?4时，a4a3?a3?(?1)4，a4?3 当n?5时，a25a4?a4?(?1)5，a5?3 2?a5a?3?4
3132若Sn是数列{an}的前n项的和，Sn?n2，则
a5?a6?a7?( )
(A) 16 (B) 25 (C) 33 (D) 49 答案：(C)
解析：a5?a6?a7?S7?S4?72?42?33 已知数列{an}前n项和为Sn?1?5?9?13?
17?21???(?1)n?1(4n?3)，则S15?S22? S31的值是（ ）
(A)13 (B)-76 (C)46 (D)76 答案：(D)
解析：S15?(1?5)?(9?13)???(49?53)?57 ?7?(?4)?57?29
S22?(1?5)???(81?85)?11?(?4)??44
S31?(1?5)???(113?117)?121 ?15?(?4)?121?61
?S15?S22-S31?76
若某等差数列{an}中，a2+a6+a16为一个确定的
常数，则其前n项和Sn中也为确定的常数的 是( )
(A)S17 (B)S15 (C)S8 (D)S7
答案：(B)
解析：设a2?a6?a16?M(常数)，则
