数的整除的特性
知识归纳：
1．整数的整除性的有关概念、性质
（1）整除的定义：对于两个整数a、d（d≠0），若存在一个整数p，使得成立，则称d整除a，或
a被d整除，记作d|a。
若d不能整除a，则记作d a，如2|6，4 6。 （2）性质
1）若b|a，则b|(-a)，且对任意的非零整数m有bm|am 2）若a|b，b|a，则|a|=|b|; 3）若b|a，c|b，则c|a
4）若b|ac，而（a，b）=1（（a，b）=1表示a、b互质，则b|c；
5）若b|ac，而b为质数，则b|a，或b|c； 6）若c|a，c|b，则c|（ma+nb），其中m、n为任意整数（这一性质还可以推广到更多项的和） 2. 奇偶运算基本法则
【基础】奇数±奇数=偶数； 偶数±偶数=偶数；
偶数±奇数=奇数； 奇数±偶数=奇数。 【推论】
1.任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和是偶数，那么差也是偶数。
2.任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反；和或差是偶数，则两数奇偶相同。
(二)各数整除判定基本法则： 2——末位为偶；
3——各位数之和为3的倍数；
378462=3+7+8+4+6+2=30=3*10 4——后两位能被4整除；
1263748——48=4*12；
5——末位为0或5；18764280—0
6——各位数之和为3的倍数且末位为偶；
5484—-5+4+8+4=21=3*7—4
7——截去个位，余下数减去被截个位的两倍的
差能被7整除；
36155=7*5165而3615-10=7*515；
8——后三位能被8整除；
19287736=8*24109717—736=8*92； 9——各位数之和为9的倍数；
187362=9*20818—-----1+8+7+3+6+2=27 10——末位为0；
11——奇位和=偶位和；或奇数位的和与偶数位的和之差，能被11整除。（\奇偶位差法\）
例如：1001，1859，1287，908270等 12——各位数之和为3的倍数且后两位能被4
整除； 13——截去个位，（余下数+个位数的4倍）能能被13整除。
7，11，13—— 一个三位以上的整数能否被7（11或
13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位以前的数字组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除。
一个数被2(或5)除得的余数，就是其末一位数字被2(或5)除得的余数；
一个数被4(或 25)除得的余数，就是其末两位数字被4(或 25)除得的余数；
一个数被8(或125)除得的余数，就是其末三位数字被8(或125)除得的余数。
(三)倍数关系核心判定特征
如果a∶b=m∶n(m，n互质)，则a是m的倍数；b是n的倍数。
如果a∶b=m∶n(m，n互质)，则a±b应该是m±n的倍数。
专题特训
1、 把516至少连续写几次，所组成的数能被9整除？
2、四位数36AB能同时被2、3、4、5、9整除，求A、B的值。
3、173□是一个四位数，在这个□中先后填入3个数，所得到的3个四位数依次能被9、11、6整除，先后填入的3个数分别是几？
4、九位数8765□4321能被21整除，□中应填几？
5、用1~7七个数字组成不重复数字且能被11整除的 七位数，最大的七位数与最小七位的数差是多少？
6、一个五位数a236b能被63整除，这个五位数是多少？
7、如果六位数1992口口能被105整除，那么它的最后 两位数是多少?
8、有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的 倍数.这三个数可能是多少？
9、 一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得 的商可能是多少？
10、42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是多少？
11、x，y，z均为整数，若11｜（7x+2y-5z），求证：11｜（3x-7y+12z）。
12、若72｜的值。
13、整数a若不能被2和3整除，则a2
+23必能 被24整除.
14若a，b，c是1998的三个不同的质因数，且a＜b＜c， 则（b+c）a
= 1600．
15、已知整数 能被198整除，那么a= ，b=？
16、若 被15整除，则n的最小值为多少？
17、有1997盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序 编号为l，2，…，1997，然后将编号为2的倍数的灯线拉一下；再将 编号为3的倍数的灯线拉一下；最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，3次拉完后亮着的灯数为多少盏？
18、求19972000被7除的余数。
19、已知a，b是整数，求证：a+b，ab、a-b这三个数之中，至少有一个是3的倍数．
20某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位 数的号码，从0001到9999号，如果号码的前两位数字之和等于 后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”．证明：这个商场所 发放的购物券中，所有的幸运券的号码之和能被101整除．
参考答案：
1、解：能被9整除的数的特点是各数位的数字和能被9整除，
5+1+6=12，至少再连续写三次，得到516516516各数字的和为36，才能被9整除。
2、解：由能被2和5整除可判断B=0。能被3和9整除可得A可能是0、9，由能被4整除得A只能为0，A=0，B=0。
3、解：能被9整除，□中应填7，能被11整除，□中应填8，能被6整除，□中应填4
4、解：21=3×7，所以8756□4321能被3和7同时整除，根据特征判断可得□中应填0。
5、解：根据能被11整除的数的特征，最大的七位数应为7645231，最小的七位数为1235476，二者的差为7645231-1235476=6409755
6、解：这个数能被63整除即能被7和9同时整除，符合条件的数为22365。
7、解： 因为105=3×7×5，所以这个六位数同时满足能被3、7、5整除的数的特征即可。根据整除特征可得末位只能为0或5。
如果末位填入0，那么数字和为1+9+9+2+口+0=21+口，要求数字和是3的倍数，所以口可以为0，3，6，9，验证均不是200-199=1，230-199=31，260-199=61，290-199=91，有9l是7的倍数，即199290是7的倍数，所以题中数字的末两位为90。
8、解：三个连续的两位数其和必是3的倍数,已知其和是11的倍数,而3与11互质, 所以和是33的倍数,能被33整除的两位数只有3个,它们是33、66、99.所以有
当和为33时,三个数是10,11,12；当和为66时,三个数是21,22,23；当和为99时,三个数是32,33,34。
9、解：一个数如果是88的倍数,这个数必然既是8的倍数,又是11的倍数.根据8的倍数,它的末三位数肯定也是8的 倍数,从而可知这个六位数个位上的数是0或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是0或11的倍数,从已知的四个数看, 这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为0,两个方框内填入的数字是相同的,因此这个六位数 有两种可能
10、解：因为99=9×11,所以42□28□既是9的倍数,又是11的倍数.根据是9的倍数的特点,这个数各位上数字的和是9的 倍数.42□28□这个六位数中已知的四个数的和是4+2+2+8=16,因此空格中两个数字的和是2或11.我们把右起第一、三、 五位看做奇位，那么奇位上已知两个数字的和是2+2=4，而偶位上已知两个数字的和是4+8=12，再根据是11的倍数的 特点，奇位上数字的和与偶位上数的和之差是0或11的倍数，所以填入空格的两个数应该相差3或相差8.从以上分析 可知填入的两个数字的和不可能是2,应该是11.显然它们的差不可能是8,应该是3,符合这两个条件的数字只有7和4. 填入空格时要注意7填在偶位上,4填在奇位上,即原六位数是42 7 28 4 ，又427284 99=4316，所以所得的商是4316。
11、证明∵4(3x-7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z)
而11｜11(3x-2y+3z),且11｜(7x+2y-5z),∴11｜4(3x-7y+12z)又 (11,4)=1 ∴11｜(3x-7y+12z).
又 23056088=262023856888=2711所以,本题的答案是2620或2711。
12、解72=8×9，且（8，9）=1，所以只需讨论8、9都整除的值。
若8｜，则8｜，由除法可得ｂ＝２。若9｜，则9｜（a+6+7+9+2），得a=3。
13、证明∵a+23=（a-1）+24，只需证a-1可以被24整除即可.
∵a不能被2整除.∴a为奇数.设a=2k+1(k为整数),则a-1=(2k+1)-1=4k+4k=4k(k+1). ∵k、k+1为二个连续整数，故k（k+1）必能被2整除，∴8|4k（k+1），即8|（a-1）.
2
2
2
2
222
又∵（a-1），a，（a+1）为三个连续整数，其积必被3整除，即3|a（a-1）（a+1）=a（a-1）， ∵a不能被3整除，∴3|（a-1）.3与8互质, ∴24|(a-1),即a+23能被24整除.
2
2
2
2
