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论获得了迅速地发展。例如，仅在表达控制网质量的指标方面，无论在广度和深度上，均非过去所能比。
2.3.1 精度估算的目的和方法
精度估算的目的是推求控制网中边长、方位角或点位坐标等的中误差，它们都是观测量平差值的函数，统称为推算元素。估算的方法有两种。
1.公式估算法
此法是针对某一类网形导出计算某种推算元素（例如最弱边长中误差）的普遍公式。由于这种推算过程通常相当复杂，需经过许多简化才能得出有价值的实用公式，所以得出的结果都是近似的。而对另外一些推算元素，则难以得出有实用意义的公式。公式估算法的好处是，不仅能用于定量地估算精度值，而且能定性地表达出各主要因素对最后精度的影响，从而为网的设计提供有用的参考。推导估算公式的方法以最小二乘法中条件分组平差的精度计算公式为依据，现列出公式如下。 设控制网满足下列两组条件方程式
a1v1?a2v2???anvn?wa?0??b1v1?b2v2???bnvn?wb?0? ? （Ⅰ）
??r1v1?r2v2???rnvn?wr?0??
?1v1??2v2????nvn?w??0?? （Ⅱ）
?1v1??2v2????nvn?w??0?推算元素F是观测元素平差值的函数，其一般形式为
F??(l1?v1,l2?v2,?,ln?vn)
式中，li为观测值，Pi为其权，vi为其相应的改正数。实际上vi的数值很小，可将上式按台劳级数展开，并舍去二次以上各项，得到其线性式
F?F0?f1v1?f2v2???fnvn （2-1）
式中
F0??(l1,l2,?,ln)
f1???????，f2?，?，fn?
?l2?ln?l1 根据两组平差的步骤，首先按第一组条件式进行平差，求得第一次改正后的观测值，然
后改化第二组条件方程式。设改化后的第二组条件方程式为
A1v1?A2v2???Anvn?wA?0 B1v1?B2v2???Bnvn?wB?0 则F的权倒数为
?af??bf??Af??Bf??1??P??P??P?1?1?ff???P??????? （2-2） ?????????PF?P??aa??bb??AA??BB??P??P?1??P??P?1?????????2222如果平差不是按克吕格分组平差法进行的，即全部条件都是第一组，没有第二组条件，则在
计算权倒数时应将上式的后两项去掉。 F的中误差为
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mF???1 （2-3） PF式中，?为观测值单位权中误差。
2.程序估算法
此法根据控制网略图，利用已有程序在计算机上进行计算。在计算过程中，使程序仅针对所需的推算元素计算精度并输出供使用。
通常这些程序所用的平差方法都是间接平差法。设待求推算元素的中误差、权（或权系数）分别为Mi、Pi(Qi)，后者与网形和边角观测值权的比例有关（对边角网而言），不具有随机性。至于单位权中误差?，对验后网平差来说，是由观测值改正数求出的单位权标准差的估值，具有随机性。但对于设计的控制网来说，用于网的精度估算，可取有关规范规定的观测中误差或经验值。这时需要计算的主要是
1或Qi，所用程序最好具有精度估算功Pi能。否则，应加适当修改，以使其自动跳过用观测值改正数计算?的程序段，而直接由用户将指定值赋给?。如此计算出的Mi即为所需结果。在这种情况下，运行程序开始时应输入由网图量取的方向和边长作为观测值，各观测值的精度也应按设计值给出。输入方式按程序规定进行。
2.3.2 三角锁推算边长的精度估算
1.单三角形中推算边长的中误差 图2-8中，设s0为三角形的起算边，s为推算边，A、B、C为角度观测值，于是由s0推算s的函数式为
s?s0sinA sinB图2-8
单三角形中有下列图形条件
A?B?C?180??0 按角度平差时，条件方程式的系数为
aA??1，aB??1，aC??1 s对角度A、B、C的偏导数（各角以弧度为单位）如下
fA??scosAsinAcosA?s0?s0??scotA ?AsinBsinBsinAfB??scotB，fC?0
设角A、B、C为等精度观测，中误差为m??，代入（2-2）式（去掉后两项）得
[ff]?s2(cot2A?cot2B) [af]?s2(cotA?cotB)
[aa]?3
于是
112?s2(cot2A?cot2B)?s2(cotA?cotB)2?s2(cot2A?cot2B?cotAcotB) Ps33将上式的结果代入（2-3）式，并注意上式在求导数时角度是以弧度为单位的，因而相应的
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测角中误差也应化成以弧度为单位，即为
m?????1m???Ps???m??，于是可得 ???ms?22s(cot2A?cot2B?cotAcotB) 3写成相对中误差的形式为
msm???s???2(cot2A?cot2B?cotAcotB) （2-4） 3过去经常使用边长对数的中误差，为此可利用微分式
ds s式中，?=0.434 29为常用对数的模，将上式换成中误差的形式有
dlgs??mlgs??ms610 （2-5） s式中的mlgs是以对数第6位为单位的。于是（2-5）式又可改写为
mlgs??106?m?????2(cot2A?cot2B?cotAcotB) （2-6） 3??106将上式右端的乘以根号内的cotA和cotB可得
???mlgs?m??222(?A??B??A?B) （2-7） 3式中
???106?A?cotA???????106?B?cotB??????? （2-8）
?A、?B的含义可以这样理解，因为
dlgsinA???cotAdA （dA以秒为单位） ?????cotA ???当dA=1\时
dlgsinA?左端为正弦对数每秒的增量，在对数表上即为相应每1\的正弦对数表列值之差，简称为正弦对数每秒表差。若以对数第6位为单位，则上式可写为
??cotA6dlgsinA?10??A
???由此可见，?A等于角A的正弦对数每秒表差（以对数第6位为单位）。 若令
22?A??B??A?B?R （2-9）
则（2-7）式可写为
mlgs?m??2R （2-10） 3 13
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22表2-5 R??A??B??A?B（以对数第六位为单位）
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如果已知的不是测角中误差m??，而是方向中误差r??（有关方向和方向观测的概念见第三章），则利用关系
m???r??2
代入（2-10）式可得
mlgs?r??4R 3或
14?R （2-11） Plgs3由（2-9）和（2-8）式可知R与三角形的内角有关，亦即与三角形的形状有关。通常将
1Plgs称为三角形的图形权倒数，也就是以方向的权为单位权，三角形推算边（一般是指精度最差的边，即最弱边）边长对数的权倒数称为三角形的图形权倒数。关于图形权倒数的这个定义不仅适用于三角形，也适用于下面讲述的大地四边形等其他图形。
为了便于计算图形权倒数，已将R列成数表，以角度A,B为引数查取（见表2-5）。
2.三角形的最有利形状
以上导出了三角形的图形权倒数公式，并说明了它同三角形的形状有关。由此，我们自然会提出什么样的三角形图形权倒数最小，亦即推算出的边长精度最高的问题。 为了便于研究，选取（2-6）式进行分析。令Q?cot2A?cot2B?cotAcotB。欲使
1最小，亦即mlgs最小，则应使Q最小。Plgs表面看来这是个多元极值问题，但应注意，A,B,C三个角为三角形的内角，此外由图2-8，从已知边s0推求任一边s或s?应使它们精度相等，则应使A?C。于是考虑这两个条件，可写出
B?180??(A?C)?180??2A
图2-9
因而使Q最小变成了一元极值问题。首先求出
1?cot2A cotB?cot(180?2A)??cot2A?2cotA将上式代入Q表达式内，得到
?1?cot2A21?cot2A31Q?cotA?()?cotA()?cot2A?tan2A
2cotA2cotA44为了求Q的极小值，将上式对A取一阶导数，并令其为零，则
2dQ31??cotA?csc2A?tanAsec2A?0 dA22经整理得方程
tan4A?3
因此
A?52?46??C，B?180??2A?74?28?
