第十章重积分
第二节二重积分计算法习题 一、填空题: 1、2、
??(xDD3?3xy?y)d??________________.其中D:0?x?1,0?y?1.
?_______________.其中D是顶点分别为 (0,0)，(?,0)，(?,?)的三角形闭区域 .
22223??xcos(x?y)d???D3、将二重积分
f(x,y)d?,其中D是由x轴及半圆周x?y?r(y?0)所围成的闭区域,化为先对y后对x的二次积分,应为
_____________________. 4、将二重积分
??Df(x,y)d?,其中D是由直线y?x,x?2及双曲线y?1x(x?0)所围成的闭域,化为先对x后对y的二次积分,
应为__________________________. 5、将二次积分6、将二次积分
???21dx?2x?x22?xsinxx2f(x,y)dy改换积分次序,应为_________________________. f(x,y)dy改换积分次序,应为_________________________.
f(x,y)dx??01dx??sin27、将二次积分
e?2dy??lny?1?21dy?22(y?1)f(x,y)dx改换积分次序,应为__________________________.
二、画出积分区域,并计算下列二重积分: 1、2、
??eDDx?yd?,其中D是由x?y?1所确定的闭区域.
2??(x?y?x)d?其中D是由直线y?2,y?x及y?2x所围成的闭区域.
?23、
??Df(x,y)d???20dx?xcosy(0?2dy 。
?x)(x?y)4.
??Dy?xdxdy,其中D:?1?x?1,0?y?2.
222三、设平面薄片所占的闭区域D由直线x?y?2,y?x和x轴所围成,它的面密度?(x,y)?x?y,求该薄片的质量 . 四、求由曲面z?x?2y及z?6?2x?y,所围成的立体的体积 . 答案
一、1、1；2、?22223?2；3、
?r?rdx?r?x220f(x,y)dy；4、?1dy?1f(x,y)dx?2y112?21dy?f(x,y)dx；5、?dy?y211?1?y202?y f(x,y)dx；
6、
?0?1dy???2arcsinyf(x,y)dx??10dy???arcsinyarcsinyf(x,y)dx； 7、?dx??x0e21?x2f(x,y)dy.
二、1、e?e极坐标习题
一、填空题: 1、将2、将
?1；2、
136；3、?；4、
53??2.三、
43.四、6?.
??Df(x,y)dxdy,D为x?y?2x,表示为极坐标形式的二次积分,为_____________________. f(x,y)dxdy,D为0?y?1?x,0?x?1,表示为极坐标形式的二次积分为______________.
22??D3、将4、将5、将
??201dx?dx?3xxx2f(x?y)dy化为极坐标形式的二次积分为______________________.
22?010xf(x,y)dy化为极坐标形式的二次积分为______________________.
22?120dx?2(x?y)xdy化为极坐标形式的二次积分为_______________,其值为_______________.
22二、计算下列二重积分: 1、
??ln(1?x?y)d?,其中D是由圆周x?y?1及坐标轴所围成的在第一象限内的区域.
D22 2、 3、 4、
??(x?y)d?其中D是由直线y?x,y?x?a,y?a,y?3a(a?0)所围成的区域.
D22??DR?x?yd?,其中D是由圆周x?y?Rx所围成的区域.
22222??Dx?y?2d?,其中D:x?y?3.
?2222三、试将对极坐标的二次积分I???d??4?42acos?0f(rcos?,rsin?)rdr交换积分次序.
四、设平面薄片所占的闭区域D是由螺线r?2?上一段弧(0???这薄片的质量.
?2)与直线???22所围成,它的面密度为?(x,y)?x?y,求
22五、计算以xoy面上的圆周x?y?ax围成的闭区域为底，而以曲面z?x?y为顶的曲顶柱体的体积. 答案
?2cos?222?一、1、
????22d??sec?0f(rcos?,rsin?)rdr； 2、?2d?0?2(cos??sin?)?1?0f(rcos?,rsin?)rdr；3、??3d??42sec?0f(r)rdr；
R3?sin?cos?04、
?40d??sec?tan?f(rcos?,rsin?)rdr； 5、?d??401rrdr,2?1.二、1、
?4(2ln2?1)； 2、14a；3、
434(??43 )；
4、
52?.三、I??2a?0rdr?24??4f(rcos?,rsin?)d???2a2ardr?arccosr2ar2a?arccosf(rcos?,rsin?)d?.四、
?540.五、
3?32a.
第三节三重积分习题 一、填空题:
1、若?由曲面z?x?y及平面z=1所围成,则三重积分
2????f(x,y,z)dxdydz化为三次积分是_______________________.
2、若?是由曲面cz?xy(c?0),次积分为_________.
xa22?yb22?1,z=0所围成的在第一卦限内的闭区域,则三重积分???f(x,y,z)dxdydz可化为三
?3、若?:0?x?1,0?y?1,0?z?1,则
???(x?y?z)dxdydz?22可化为三次积分__________,
24、若?:是由x?0,z?0,z?h(h?0),x?2y?a及x?y?a(a?0)所围成,则三重积分
????f(x,y,z)dv可化为：
（1）次序为z?y?x的三次积分______.(2)次序为y?x?z的三次积分_____.(3)次序为x?z?y的三次积分_____. 二、计算三、计算
????xyzdxdydz,其中?是由曲面z?xy,与平面y?x,x?1和z?0所围成的闭区域 . xzdxdydz,其中?是曲面z?0,z?y,y?1,以及抛物柱面y?x所围成的闭区域.
1x?y223????2四、计算答案 一、1、
????22dv,其中?是由六个顶点A(1,0,0),B(1,1,0),C(1.1.2),D(2,0,0),E(2,2,0),F(2,2,4)组成的三棱锥台.
??1?1adx?1?x?1?x22dy?2122x?yhf(x,y,z)dz； 2、?dx?0haab1?xa22xy0a?x22dy?c0f(x,y,z)dz； 3、?dx?dy?(x?y?z)dz，
00011132；
4、
a0dx?a?x22a?xdy?f(x,y,z)dz，?dz?dx?a?x0002f(x,y,z)dy；
?20dy?dz?0ha?y2a?2yf(x,y,z)dx??ady?dz?20aha?y220f(x,y,z)dx二、
1364.三、 0.四、 ln2.
柱面坐标球面坐标习题 一、填空题:
1、若?由曲面z?3(x?y)和x?y?z?16所围,则三重积分
222222????f(x,y,z)dv表示成直角坐标下的三次积分是
_________________;在柱面坐标下的三次积分是_________________;在球面坐标下的三次积分是__________________. 2、若?由曲面z?2?x?y及z?x?y所围,将???zdv表为柱面坐标下的三次积分_________,其值为_______.
?22223、若空间区域?为二曲面x?y?az及z?2a?222222222x?y所围,则其体积可表为三重积分_______________;或二重积分
22____________;或柱面坐标下的三次积分___________________. 4、若由不等式x?y?(z?a)?a,x?y?z所确定,将二、计算下列三重积分: 1、 2、
???zdv表为球面坐标下的三次积分为_________；其值为_______
????(x?y)dv,其中?是由曲面4z?25(x?y)及平面z=5所围成的闭区域.
?22222???(x?y)dv,其中?由不等式0?a??22x?y?z?A,z?0所确定.
222222??xyz 3、,其中??(??)dxdydz(x,y,z)???1??. 222???a2b2c2abc???x2y2z2三、求曲面z?225?x?y及x?y?4z所围成的立体的体积.
2222222222四、曲面x?y?az?4a将球体x?y?z?4az分成两部分,试求两部分的体积之比. 五、求由曲面z?x?y,x?y?a,x?0,y?0,z?0所围成立体的重心(设密度??1). 六、求半径为a,高为h的均匀圆柱体对于过中心而垂直于母线的轴的转动惯量 (设密度??1). 答案 一、1、
24?x2??0?2dx?d??4?x2dy?16?x?y3(x?y)22222f(x,y,z)dz??2?2dx?4?x2?4?x2?2dy??3(x?y)2222?16?x?yf(x,y,z)dz,
f(rcos?,rsin?,z)dz,
2?0?4020rdr?16?r3rf(rcos?,rsin?,z)dz??0d?2?20rdr??3r2?16?r?2??0d??6d??f(rsin?cos?, rsin?sin?,rcos?)rsin?dr
2?0??d???65?d??f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)rsin?dr；
042 2、
??2?02?d??rdr01?2?r22rzdz,
7?12； 3、
???dv,??(2a??x?y?22x?ya22)dxdy,?2?0d??a0rdr?2a?r2rdz；
Da? 4、
0d??4sin?cos?d??02acos?0rdr,376?a.
374二、1、8?； 2、
4?15(A?a)； 3、
55452?abc.三、?(55?4).四、
3237. ?6?27V2273?a6V1?a3五、(25a,25a,730a).六、
2M4(a?2h3)(其中M??ah?为圆柱体的质量).
2
